差分约束系统

概述

差分约束系统用于解决：给定一些不等式，不等式\(i\)形如\(x_{u_i}\le x_{v_i}+k_i\)，求是否有解。

考虑最短路问题，若最短路问题有解，则最后的dis数组对于所有相邻的u、v满足\(dis[v]\le dis[u]+w_{u\rightarrow v}\)。这个可以与不等式的条件做类比。因此对于不等式\(x_{u_i}\le x_{v_i}+k_i\)，连边\(u_i\rightarrow v_i(k_i)\)，则不等式组有解等价于存在从某一点到所有点的最短路。

最短路问题有解等价于不存在负环。用SPFA判断即可。

最大化差

求满足不等式组的前提下，\(x_n-x_1\)的最大值。

建图后，以1为起点跑SPFA。可以证明答案即为dis[n]。

最小化差

求满足不等式组的前提下，\(x_n-x_1\)的最小值。

答案为1到n的最长路。

求最长路改一下SPFA的松弛条件即可。