卡特兰数 第二类斯特林数
卡特兰数
卡特兰数是一类特殊的数，形如1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190。一般打表时看到这种数列则可以认为是卡特兰数。
关于卡特兰数\(Cat_n\)有以下公式或性质：
- \(Cat_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\)
- \(Cat_n=Cat_{n-1}\cdot \frac{4n-2}{n+1}\)
- \(Cat_n=\sum_{i=0}^{n-1}Cat_iCat_{n-1-i}\)
- 若\(Cat_n\)为奇数，则\(Cat_n=2^k-1\)
在实际应用中，卡特兰数有以下性质：（下标起始位置可能不同）
- 长度为\(i\)的合法括号序列/入栈出栈序列数为卡特兰数
- 有\(i\)个结点的二叉树种数为卡特兰数（？待考究）
- 在\(i×i\)网格图中，从左下角走到右上角且仅走左下-右上对角线以右下部分（含）的路径数为卡特兰数
- 凸\(i\)边形的三角剖分数为卡特兰数
转换：每次+1/-1且不超过某数=括号序计数，规模为\(n\)的问题划为\(i\)和\(n-i-1\)的问题=二叉树计数。
第一类斯特林数
由于幂和的一般解法时间复杂度为\(klog(k)\)，因此本博客不讲解第一类斯特林数求幂和，也不讲解第一类斯特林数。
第二类斯特林数
第二类斯特林数\(S(n,m)\)表示将\(n\)个不同物品放在\(m\)个相同抽屉里的方案数。
拓展：不同+不同=阶乘×挡板，相同+不同=挡板，相同+相同=自然数拆分。
关于二斯数有以下公式或性质：
- \(S(i,j)=S(i-1,j-1)+j\cdot S(i-1,j)\)
- certain
- certain
- \(x^n=\sum_{i=1}^nS(n,i)\cdot \frac{x!}{(x-i)!}=\sum_{i=1}^nS(n,i)\cdot C(x,i)\cdot i!\)
- \(S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m(-1)^kC_m^k(m-k)^n\)（基本容斥原理）
例题
BZOJ2159 Crash的文明世界
化简$$\sum_{i=1}nf(i)m$$
由性质四，得$$=\sum_{i=1}n\sum_{j=1}mS(m,j)\cdot\frac{f(i)!}{(f(i)-j)!}$$
尝试配成组合数：$$=\sum_{j=1}mS(m,j)\sum_{i=1}n\frac{f(i)!}{(f(i)-j)!}$$
\[=\sum_{j=1}^mS(m,j)\cdot j!\sum_{i=1}^n\frac{f(i)!}{j!(f(i)-j)!}
\]
\[=\sum_{j=1}^mS(m,j)\cdot j!\sum_{i=1}^nC(f(i),j)
\]
