线性筛

线性筛

如果要线性筛一个函数，你需要支持这两件事：

• 已知\(f(i)、f(j)\)，\(i\)是质数且与\(j\)互质，求\(f(ij)\)
• 已知\(f(i)、f(j)\)，\(i\)是质数且整除\(j\)，求\(f(ij)\)

如果\(f()\)是积性函数，那么第一件事就解决了。第二件事由于其特殊的性质，很多时候也可以轻松解决。
以下举例说明：

质数判定函数

• \(isprime(ij)=0\)
• \(isprime(ij)=0\)

欧拉函数

• \(\varphi(ij)=\varphi(i)\varphi(j)\)
• \(\varphi(ij)=i\cdot\varphi(j)\)

莫比乌斯函数

• \(\mu(ij)=\mu(i)\mu(j)\)
  • 由于\(i\)是质数，也可以写为\(\mu(ij)=-\mu(j)\)
• \(\mu(ij)=0\)

积性函数的狄利克雷卷积函数

求筛：\(f(n)=\sum_{d|n}d^2\mu(d)\frac{n}{d}\)。\(n\le10^7\)。
由狄利克雷卷积的性质，f()是积性函数。因此我们只用考虑第二件事。
若\(n\)是质数，显然\(f(n)=n-n^2\)。
啊啊啊哦哦哦。哈哈哈去重庆。
所以，\(f(ij)=i\cdot f(j)\)。
来源BZOJ2693

埃拉托特尼斯筛

复杂度为\(O(nlog(log(n)))\)，理论复杂度是线性筛的四点几倍（1e6 4.3倍，1e7 4.5倍，1e8 4.7倍），实际时间可能两三倍。