树形背包的两种方法

树形依赖背包两种方法：

树序法

f[i][j]表示dfs序i~n的点中选j个点的背包，转移时考虑是否选这个点，如果不选则这个子树都不能选。
\(f[i][j]\leftarrow \max(f[i+1][j-1], f[i+size[i]][j])\)
时间复杂度\(O(nV)\)。\(V\)是背包大小。
这种做法要求对树边没有要求。

树上背包法

f[u][i]表示点u的背包，且要选点u。枚举儿子转移，注意越过上界时要break，否则不能保证复杂度。时间复杂度为\(O(n^2)\)。
保证复杂度的代码如下：

void solve(int u) {
	siz[u] = 1;
	f[u][0] = 0; f[u][1] = w[u];
	for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
		int v = G[u][i];
		if(v == fa[u]) continue;
		solve(v);
		for(int i = 0; i <= min(m, siz[u]+siz[v]); i++) g[i] = f[u][i];
		for(int j = 1; j <= siz[u]; j++) if(~f[u][j]) 
			for(int k = 0; k <= siz[v] && j+k <= m; k++) if(~f[v][k]) 
				g[j+k] = max(g[j+k], f[u][j]+f[v][k]);
        for(int i = 0; i <= min(m, siz[u]+siz[v]); i++) f[u][i] = g[i];
		siz[u] += siz[v];
		siz[u] = min(siz[u], m);
	}
}

这种做法要求每个点体积为1。也可以做体积不为1的，但复杂度则不为\(O(n^2)\)。

在原问题可以拆成按一条树边分开的两个子树的问题时，可以考虑树形背包。如HAOI2015D1T1。