[?] CF1710E Two Arrays

题意

用两个数组 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 、 $b_1,b_2,\ldots,b_m$ 描述一个 $n\times m$ 的网格图， $(i,j)$ 的权值为 $a_i+b_j$ 。

一开始有个车位于 $(1,1)$ ，Alice 和 Bob 轮流操作，一次操作可以选择：

横向移动车至与其同一行的任意一个格子；
纵向移动车至与其同一列的任意一个格子；
结束游戏。

特别地，不能将车移动至一个已经被踩过 $1000$ 次的格子，最后局面的权值即为车所在格子的权值。

Alice 想最大化，Bob 想最小化，两人均最优策略，问最后的权值。

$n,m\leq 2\times 10^5$ , $a_i,b_i \leq 5\times 10^8$ 。

题解

首先二分答案 $x$ ，那么 Alice 一旦遇到比 $x$ 大的局面就会立刻结束，Bob 同理。那么我们把格子按照权值， $\ge x$ 的为白色， $\leq x$ 的为黑色，也就是说，Alice 只能走白格，Bob 只能走黑格，谁走不动谁输。

那么我们可以建立二分图博弈模型：将每个点复制为 $1000$ 份，向能够一步到达的所有异色点连边，问题就变成规定起点，两人轮流走一步，走不动的输。

二分图博弈的结论是，最大匹配一定包含起点时先手胜，反之则反。证明：

最大匹配包含起点，先手只需要一直走最大匹配中的边。若后手走到一个未匹配的点，那么我们把最大匹配中先手走过的边，换成后手走过的边，此匹配就不包含起点了，矛盾。
最大匹配不包含起点，则先手第一步一定会走到最大匹配中的点（否则在原最大匹配的基础上，新增一组先手走的边），然后变成了第一种情况，后手必胜。

然后假设说我们对这个复制后的图求出了最大匹配，可以发现一定存在一种方式将图分为 $1000$ 层，一层含有每个点的一份复制，且不存在跨层的匹配（这里感性吧，我不太会说话），所以 $1000$ 个复制和一个点没有本质区别，这两个图答案相同。问题转化为判断上述二分图的最大匹配是否一定包含起点。

简单的想法是删去起点后，再跑一遍最大匹配检查是否相等。而最大匹配在网格图上的形式不是很好看，我们转而求最大独立集：在网格中选择最多的格子，使得同行同列不存在异色格子都被选中。

那对于一行/列，我选择的格子只能是一个颜色，那么我就可以对行列进行黑白染色，也就是可以称一行/列是白/黑的，当且仅当这一行/列我只能选中白/黑格子。那么：

白行与白列的交，如果是白格子则贡献为 $1$ 。
黑行与黑列的交，如果是黑格子则贡献为 $1$ 。
白行与黑列、白列与黑行的交，没有贡献。

则最大独立集为，与其所在行列均同色的格子数。

观察到我可以将 $a,b$ 数组排序，这样起点变成了中间任一点，而白格挪到了右上角一部分，好处就是白行/列选择的一定是一个后缀。假设前 $i$ 行是白行，前 $j$ 列是白列，我固定 $i$ 从右往左扫描 $j$ ，相当于每次把一个黑列替换为白列。假设这列有 $x$ 个白格，贡献即为 $-\min(n-x,n-i)+\min(x,i)=x+i-n$ ，容易发现 $x$ 随着 $j$ 递增，换句话说答案关于 $j$ 有凸性，决策在第一个 $x+i-n>0$ 的点。这个点的位置关于 $i$ 也是单调的，所以可以双指针 $O(n)$ 对于每个 $i$ 找出。至此我们解决了不删除起点的部分。