[DP] CF1060F Shrinking Tree

题意

对于一棵有 $n$ 个节点的树 $T$ 。当 $T$ 的节点数多于一个时，反复执行以下操作：

等概率地选取 $T$ 中的一条边。
收缩选取的边：即合并这条边连接的两个点 $u$ 和 $v$ 。得到的新点的编号等概率地从 $u$ 和 $v$ 中选取一个。

当这个过程结束时， $T$ 只剩一个节点了，它的编号可能是 $1,\ldots,n$ 中的任意一个数。对于每个编号，请输出最终得到这个编号的概率。

$1\le n\le 50$ 。

题解

好神奇啊...感觉只能停留在理解层面，现场做哪怕缺少一环就肯定无法想出了...

感谢 zxy 大佬的教诲，我现在理解这个题了。

$n$ 范围较小，那么枚举树上特殊点，而后将其作为根往往是很大程度上简化问题的有效手段。

对于此题来讲，枚举点 $x$ 作为最后保留下来的点则不用关心其他编号，而将 $x$ 设为根导出了一个树形 DP 的初步思路： $f_u$ 表示仅考虑 $u$ 子树内的边，以任意顺序缩掉但最后留下的编号是 $u$ 的概率。

这个转移有一个很明确的思路：对于 $u$ 的儿子 $v$ ，如果我某一时刻缩掉了 $(u,v)$ 的边并且保留的是 $u$ ，则可以看做是将 $v$ 的儿子都挂在了 $u$ 下面。此时，缩掉 $v$ 子树所有点且根编号不变的一个缩边排列，唯一对应着将这些挂上 $u$ 的儿子全缩掉且 $u$ 编号不变的序列，而缩掉每个子树的边对于「 $u$ 编号不变」是独立的——子问题的形式初具雏形。

但一个问题是 $v$ 的子树缩到某个时候的形态，是不太能记录进状态的，我们需要找到更简洁的方式来刻画，但我想了很久都不会。有一个关键的 observation 是： $(u,v)$ 这条边之前的合并边一定无用，我们不考虑，也不应该考虑这些边。这说明我们还需要记录时间，也就是缩边序列的填充状态，才可以找到子问题。

对缩边序列进行填充。为保有子问题的形式，状态设置为： $f_{u,i}$ 表示对于 $u$ 的子树的缩边序列已经填充了后 $i$ 位，前面的随便填的所有方案，已填充的位不会影响到 $u$ 的概率之和。从儿子 $v$ 转移到 $f_{u,i}$ 时，枚举最关键的一条边 $(u,v)$ 的出现时间 $j$ ：

$j \leq i$ ，缩这条边的时候有 $\dfrac 12$ 的概率选 $u$ ，这必需的。 $j$ 前面的边无论怎么缩都不会影响 $u$ ，只需保证后 $j-1$ 条边不让 $u$ 变化就行。所以这种情况贡献为 $\dfrac {f_{v,j-1}}2$ 。
$j>i$ ，既然我不关心 $i$ 前面的边有没有影响，那自然我枚举这条边没卵用， $v$ 子树该咋整咋整，贡献为 $f_{v,i}$ 。