[复习] 最大权闭合子图
以下均认为「收益」为正的贡献，「代价」为负的贡献。
为方便表述，称 \(b_i=1\) 的点被选了，反之没被选。
简介
每个点可以选或不选，存在一元/二元/多元的收益/代价，满足特定条件时，可以跑网络流。
模型描述
有向带权图 \((V,E)\)，你可以给点 \(i\) 分配布尔权值 \(b_i\in \{0,1\}\)。
对于点 \(u\)，若 \(b_u=1\) 则你获得其点权 \(a_u\) 的收益；对于有向边 \((u,v,w)\in E\)，若 \(b_u=1\land b_v=0\)，你会付出 \(w\) 的代价。
最大化你的贡献。
解法
保留原图中所有的边，新建源点 \(s\) 与汇点 \(t\)。
对于每个点 \(i\)，若 \(a_i>0\) 则加入边 \((s,i,|a_i|)\)，否则加入边 \((i,t,|a_i|)\)。
对该图跑最大流，令答案为 \(ans\)，则原问题答案为 \(\left(\sum_{a_i>0}a_i\right)-ans\)。
正确性
不妨残量网络上，与 \(s\) 连通的点集为 \(S\)，与 \(t\) 连通的点集为 \(T\)。断言 \(\forall i\in S\) 有 \(b_i=1\)，\(\forall i\in T\) 有 \(b_i=0\)。
则最小割由且仅由三部分组成：
- \(a_i>0\land i\in T\)，此时会割开与 \(t\) 的连边；
- \(a_i\leq 0\land i\in S\)，此时会割开与 \(s\) 的连边；
- \(u\in S\land v\in T\) 时有 \((u,v,w)\in E\)，此时隔开 \((u,v,w)\)。
由此易知解法正确性。
二元关系
列举所有二元关系的建图方式。
可建图
对于一般图，以下二元关系同时出现也均可用最大权闭合子图描述。
① \(b_u=1\land b_v=0\) 有代价 \(w\)
模型上述。
② \(b_u=1\land b_v=1\) 有收益 \(w\)
建立新点 \(x\)，令 \(a_x=w\) 并连边 \((x,u,\infty),(x,v,\infty)\)。意义是选 \(x\) 则必选 \(u,v\)；而 \(u,v\) 被选时由于 \(x\) 正权，选择 \(x\) 一定更优。
③ \(b_u=0\land b_v=0\) 有收益 \(w\)
建立新点 \(x\)，令 \(a_x=w\) 并连边 \((u,x,\infty),(v,x,\infty)\)。意义是选 \(u,v\) 中的一个则必不选 \(x\)；而 \(u,v\) 不被选时由于 \(x\) 正权，选择 \(x\) 一定更优。
注意：同时出现 ②③ 时不认为两条件等价。
试看看：P4313 文理分科
不可建图
对于一般图，以下二元关系出现其一则不可用最大权闭合子图描述。
④ \(b_u=1\land b_v=1\) 有代价 \(w\)
取 \(w=+\infty\)，规约一般图独立集。
⑤ \(b_u=1\land b_v=0\) 有收益 \(w\)
\(a_u:=a_u+w\) 后等价于上一种。
伪不可建图
出现不可建图的模型时，其往往不为一般图而是二分图，此时便可翻转限制解决。
具体做法：将点黑白染色，使任意一条 ④⑤ 限制的两端点不同色。将所有白点权值取反，将所有限制中的白点限制取反，造成的差价初始时累加进贡献。
试看看：CF311E Biologist
疑问：若图中既存在可建图二元关系，又存在不可建图二元关系，且不能通过翻转限制解决，那我也不知道怎么办！不知道有没有高明的办法 =.=
二元关系（或）
或的二元关系和与的二元关系只是补集转化的关系而已。举个例子：
\(b_u=1\lor b_v=1\) 有代价 \(w\)
这个二元关系不成立，当且仅当 \(b_u=0\land b_v=0\)。所以直接给答案累减去 \(w\)，就转化为了其补集 ③。
试看看：AT5203 [AGC038F] Two Permutations，但需要一定转化。
多元关系
懒得写了！自己讨论去。
