[转]数学是一种思考方式
一篇不错的文章，转一下，大家共享之
这几天有个读者来来去去给我写了几封 email ，问起我的观点：数学和编程是什么关系？学编程需要多深的数学基础？到底需要掌握哪些数学知识，对编程能力的提高有帮助。
这个还真不好说。
如果说起课堂上我们学到的知识。除了初等代数，在编程中我还真没碰到多少依赖数学技能来解决的问题。当年我学 C 语言的时候很小，甚至不知道数学中函数这个概念，还不一样把 C 语言学完了。虽然过了些年，我才把数学中的函数和程序中的函数联系起来。
做 3d 游戏编程，大学里的线性代数可能还用的到一点。至少得知道矩阵运算吧。但是大部分程序员并不需要接触这些东西。除此之外，如果说程序员必须精通微积分才能编程，那绝对是鬼扯。
如果对用编程的手段解决各种问题感兴趣，或许相关领域的数学知识有些用。比如我时常由于兴趣，做一些数据统计分析工作，这时概率统计的知识就少不了。但是解决问题，编程和数学一样，都只是工具。他们的地位是平等的，并非编程的技能依赖数学技能。
那么，学习数学有用吗？当然有必要。因为数学是一种思考方式，编程需要这样的思考方式。
我有个朋友，十年前认识他的时候，他说他在学佛。有一个问题没弄明白：佛说，不要执着。那么执着于不要执着是不是一种执着。
过了好些年，他还没弄明白这个问题。
学佛怎可以执着于这样的语言逻辑呢？光读佛经是没有用的，道理有时候需要顿悟。数学也如此。
学习数学绝对不是无休止的解题训练，我们需要悟到其中的思考方法。那种逻辑严密的推理，对完美境界的构建。发现理论上的缺陷，并对其分析，重新构作。当然，这个过程，又需要我们做大量的练习，借此领悟其中的道理。
编程也一样，不断的编写代码本身并不能直接提高编程能力。我们需要的是对问题的洞察力，构建系统的能力，理解机器运行时来龙去脉的能力，等等。而这些能力又是在不断编程实践中顿悟出来的。
编程和数学一样，是绝对严谨的。程序有特定的输入，经过特定的流程，一定有特定的输出。对于程序中的 bug ，我们不能抱有神秘论。它们不会没来由的出现，没来由的消逝。这就跟数学证明一样，逻辑或概念的缺陷不会随着时间消失，总等待后人来修补。
另一方面，在数学中，直觉也是很重要的。直觉可以帮助我们快速理解问题，解决问题。对数学了解的越多，数学的直觉就越准。很多数学知识，不需要太多研究学习，靠直觉就可以理解了。程序写多了的人通常也会有这种感觉 :D
只是有时候，数学中有些命题很直观，但是证明过程却非常繁杂。
比如拓扑学中的若当曲线定理：平面上一条简单闭曲线 C 恰好可以把平面分成两个区域，一个是内部，一个是外部。换句话说，平面上的点被分为了两类：在曲线外部的点集 A，和在曲线内部的点集 B 。在同一点集中的任意两点都可以用一条不与 C 相交的曲线相连，而连接一对不属于同一点集的两点的连线必然和 C 相交。
这个定理看起来很直观，显然是对的。但是一般人很难做出严格的数学证明，甚至很难看懂其证明。
现代编程我们经常会遇到类似的东西。尤其在现在系统越来越复杂的情况下，一段很简单的应用程序代码，你可以很显然的知道它能做什么，但是很少有人可以完全解释清楚它是怎样一步步做到的。比如一段很简单的 Windows 程序代码就是这样。只有拥有追根问底的数学精神，才会刨进操作系统底层，去搞明白系统到底怎样工作。这些不是一日之功，甚至不是三五年就够了的。而许多庸庸碌碌的程序员，满足于拖两个控件，粘合一下代码。最终只会感叹，程序只能写到三十岁。要我说，平庸资质如我，三十岁能入门就不错啦。
数学的发展历史中，又包含了许多人无穷的创造力。光靠逻辑推理来一步步解决问题显然是不够的。很多数学问题的解决，都起源于某种直觉，某种创造性构建，甚至把许多表面不相关的东西牵连在一起思考。然后再通过逻辑严密的推导过程来完善它。
例如，费马大定理的最终证明。首先找到了关于费马方程的解所在的费马曲线和椭圆曲线的联系，然后构造出一种特殊的椭圆曲线，当且仅当费马大定理不成立时，该曲线才存在。最后，通过证明这种曲线有一些极端奇怪和不可信的性质，决定了曲线不可能存在，从而反证了费马大定理成立。这之中虽然用到了许多前沿的高深数学理论成果才得以证明，但整个思路框架之巧妙，也是让人佩服之至。
编程也是如此，我们首先需要对各种编程方法，编程语言的特性得心应手；而后，编程绝对不是简单的堆砌代码，它需要我们巧妙的构建系统，在合适的地方用合适的方式来解决问题。最终还需要让每个部分都严格正确。
最后，对于那位朋友的问题，我只能给出我的个人建议。学习编程的确需要学习数学。但学习数学，不必列出书目，一本本去啃那些枯燥的教科书。只需要从数学史读起，弄清人类是怎样一步步理解数学的，学习其中的思想，最后用自己的兴趣去研究其中感到有趣的部分。
