hihocoder 第三十四周 二分图三·二分图最小点覆盖和最大独立集

题目1 : 二分图三·二分图最小点覆盖和最大独立集

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描述

在上次安排完相亲之后又过了挺长时间，大家好像都差不多见过面了。不过相亲这个事不是说那么容易的，所以Nettle的姑姑打算收集一下之前的情况并再安排一次相亲。所以现在摆在Nettle面前的有2个问题：

1.姑姑想要了解之前所有相亲的情况。对于任一个一次相亲，只要跟参与相亲的两人交流就可以得到这次相亲的情况。如果一个人参加了多次相亲，那么跟他交流就可以知道这几次相亲的情况。那么问题来了，挖掘技术到底哪家强姑姑最少需要跟多少人进行交流可以了解到所有相亲的情况。

问题1解答

2.因为春节快要结束了，姑姑打算给这些人再安排一次集体相亲。集体相亲也就是所有人在一起相亲，不再安排一对一对的进行相亲。但是姑姑有个条件，要求所有参与相亲的人之前都没有见过。也就是说在之前的每一次相亲中的两人不会被同时邀请来参加这次集体相亲。那么问题又来了，姑姑最多可以让多少人参与这个集体相亲。

问题2解答

输入

第1行：2个正整数，N,M(N表示点数 2≤N≤1,000，M表示边数1≤M≤5,000)
第2..M+1行：每行两个整数u,v，表示一条无向边(u,v)

输出

第1行：1个整数，表示最小点覆盖数
第2行：1个整数，表示最大独立集数

样例输入

5 4
3 2
1 3
5 4
1 5

样例输出

2


思路：
1.
在图G中选取尽可能少的点，使得图中每一条边至少有一个端点被选中。
这个问题在二分图问题中被称为最小点覆盖问题。即用最少的点去覆盖所有的边。
结论：由König定理可知最小点覆盖的点数 = 二分图最大匹配
证明：http://www.matrix67.com/blog/archives/116
2.

在图G中选取尽可能多的点，使得任意两个点之间没有连边。

这个问题在二分图问题中被称为最大独立集问题。

结论：最大独立集的点数 = 总点数 - 二分图最大匹配

证明：

假设最大独立集的点数为|U|，二分图最大匹配的匹配数为|M|，最大匹配中所有顶点集合为EM

先证明 |U|≤|V|-|M|

M中任意一条边的两个端点是连接的，所有对于M中的边必有一个端点不在|U|集合中，所以|M|≤|V|-|U|

再证明|U|≥|V|-|M|

首先我们知道一定有|U|≥|V|-|EM|，即将最大匹配的点删除之后，剩下的点一定都不相连。
接下来我们考虑能否将M集合中的一个端点放入U中：
假设(x,y)属于M，存在(a,x),(b,y)，且a,b都在U中，则会出现两种情况：

• 如果(a,b)连接，则有一个更大的匹配存在，矛盾
• 如果(a,b)不连接，a->x->y->b有一个新的增广路，因此有一个更大的匹配，矛盾

故有a,b两点中至多只有1个点属于U，则我们总是可以选取x,y中一个点放入集合U
所以|U|≥|V|-|EM|+|M|=|V|-|M|

综上有|U|=|V|-|M|

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<iomanip>
#include<climits>
#include<string.h>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<vector>
#include<stack>
#include<set>
using namespace std;
#define INF 1000000007
#define MAXN 40010
#define Mod 1000007
#define N 10007
#define NN 30
#define sigma_size 3
const int maxn = 6e5 + 10;
using namespace std;
typedef long long LL;

int n, m, u, v;
vector<int> G[5010];
bool vis[1010];
int match[1010];

bool dfs(int u)
{
    for (int i = 0; i < G[u].size(); ++i) {
        int v = G[u][i];
        if (true == vis[v]) continue;
        vis[v] = true;
        if (match[v] == -1 || dfs(match[v])) {
            match[v] = u;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int hungarian()
{
    int ans = 0;
    memset(match,-1,sizeof(match));
    for (int u = 1; u <= n; ++u){
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        if (dfs(u))
            ans++;
    }
    return ans/2;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    int res = hungarian();
    printf("%d\n%d\n",res,n-res);
    //system("pause");
    return 0;
}