0-1背包问题动态规划详解

最近开始学习背包问题，在此做些笔记，先学习最简单的0-1背包问题。

0-1背包问题介绍：

一，背包问题基本解决

       有一个背包可以存放M斤物品，有N件物品（每件物品只有1件），他们重量分别是w1,w2,w3..........，他们价值分别是p1,p2,p3...............。问怎么装载物品，使背包装的载物品价值最大？

       举例说明：

       背包装10斤物品，有3件物品，重量分别是3斤，4斤，5斤，价值分别是4，5，6；

可以画一个矩阵，行号0，1，2，3，行号0表示0件物品可放入背包情况下，背包装载最大价值，行号1表示只有第一件物品可以放入背包情况下，背包装载最大价值，行号2表示只有第1件和第2件可以放入背包情况下，背包装载最大价值，......

      列号0，1，2，3.............10表示背包剩余可用容量，列号0表示背包已满时候，剩余容量为0时候，还可以装载的最大价值；列号1表示背包剩余容量为1时候，还可以装载的最大价值，......

      当行号是3，列号是10时候，价值最大，即c[3][10]值最大.

       行号是0，表示有0件物品可放入背包，此时背包装载0件物品，因此价值都为0，即c[0][0]=c[0][1]=.....c[0][10]=0;

       行号是1，表示第一件物品可以放入背包，第一件物品重量是3，当列号为0，1，2时候，一件物品也放不下，背包装载价值是0，当列号3，4，5...........10可以放下，但是只有一件物品，因此最多获取价值是4，即c[1][3]=c[1][4]..........c[1][10] = 4;

       行号是2，表示第一件和第二件物品可以放入背包，第一件物品重3斤，第二件重4斤，当列号0，1，2时候，一件物品也放不下，背包装载价值是0，当列号为3时候，可以放下第一件，但是放不下第二件，价值是4，列号为4时候，可以放下第一件也可以放下第二件，此时分为两种情况，放第二件或不放第二件，取两者最大值即可。放第二件，剩余容量是0，此时价值是p[2]+容量0，行号是1时最大值，即p[2]+c[1][0]=5,不放第二件，则是剩余容量是4，行号是1时，最大值，即c[1][4] = 4,则5>4,我们存放第二件，此时背包装载最大价值是5，当列号为5，6时候，价值5，当列号为7时候，max{不放第二件，放第二件}，不放第二件，即列号为7，行号为1最大值，c[1][7]=4；放第二件，为：p[2]+列号为7-w[2]=7-4=3,行号为1时最大值，为：p[2]+c[1][3]=5+4=9,9>4,我们选择存放第二件，此时装载了两件物品，列号8，9，10也是9.

       当行号是2时，我们可以得出规律：最大值=max{存放第二件，不存放第二件}=max{p[2]+c[1][列号-w[2]]，c[1][列号]}，而列号就是从1到背包容量V之间某个值。

       当行号是1时，我们可以得出规律：最大值=max{存放第一件，不存放第一件}=max{p[1]+c[0][列号-w[1]]，c[0][列号]}=max｛p[1],0｝,当列号>=w[1]，最大值p[1],否则0。

       我们由此得出一个疑问：为什么列号是0,1,2．．．．10，可以这样（列号＝10不变）吗？因为我们只求背包剩余容量为10时，装载价值最大值。

答案是不可以的，比如求当行号是3，列号是10最大值，即最大值＝c[3][10] = max{p[3]+c[2][5],c[2][10]},欲求c[3][10]必须知道c[2][5]和c[2][10]，而c[2][5] = max{p[2] + c[1][1],c[1][5]}，欲求c[2][5]必须求c[1][1]和c[1][5]，我们求c[i][10]时候会用到c[i][j],此时0<=j<=10,因此我们必须从行号是0开始，把列号0．．．．．．10之间，所有c[i][j]求出来，因为后面要用到，这是一个不断递推过程。

       因此，得出结论：

       将前ｉ件物品放入背包中，求背包装载最大价值问题。只考虑第ｉ件物品策略（第ｉ件放还是不放），如果不放第ｉ件物品，求前 i-1 件物品放入容量背包，背包装载最大价值问题，最大价值为c[i-1][v]；如果放第ｉ件物品，求 i-1 件物品放入容量 v-w[i] 容量背包，背包装载最大价值问题，最大价值为p[i] +c[i-1][v-w[i-1]]；

因此c[i][j] = max{c[i-1][v],p[i]+c[i-1][v-w[i-1]]}；

       因此我们得出核心代码：

for (int i = 1; i <= N; i++){
    for(int j = 1; j <= M; j++){
        if (c[i][j] >= w[i]){
            if (c[i-1][j] > p[i]+c[i-1][j-w[i]]){
                c[i][j] = c[i-1][j];
            }else{
                c[i][j] = p[i] + c[i-1][j-w[i]];
            }
        }else{
            c[i][j] = c[i-1][j];
        }
    }
}

下面是用C++简单实现程序（VS2008通过）：

#include <cstdio>
const int  K = 100;


/*
输入格式：
10 3    //M=10,N=3
3 4     //w[1]=3,p[1]=4
4 5     //w[2]=4,p[2]=5
5 6     //w[3]=5,p[3]=6
*/

int max(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
int main(){
    int M,N,w[K],p[K],i,j,c[K][K];
    scanf("%d%d",&M,&N);
    for (i = 1;i <= N;i++)
    {
        scanf("%d%d",&w[i],&p[i]);
    }
    for (i = 0;i <= N;i++)
    {
        for (j = 0;j <= M;j++)
        {
            c[i][j] = 0;
        }
    }

    for (i = 1;i <= N;i++)
    {
        for (j = 1;j <= M;j++)
        {
            if (w[i] <= j)
            {
                c[i][j] = max(c[i-1][j],c[i-1][j-w[i]]+p[i]);   //方式1
/*                if (c[i-1][j] > c[i-1][j-w[i]]+p[i])    //方式2
                {
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                }else{
                    c[i][j] = c[i-1][j-w[i]]+p[i];
                }
*/
            }else{
                c[i][j] = c[i-1][j];
            }
        }
    }

    printf("%d\n",c[N][M]);
    return 0;
}

 运行结果：

二，背包问题优化解决

          在以上解决方案中，所用时间复杂度是O(M*N)，空间复杂度是O(M*N)，用到了一个M*N的数组。如果仔细观察之后，发现可以用一维数组代替二维数组。

          当行号为0时，数组c[0][0]=c[0][1]=...................=c[0][10] = 0;

          当行号为1时，根据c[i][j] = max{c[i-1][j],p[i]+c[i-1][j-w[i]]}，得c[1][j]=max{c[0][j],p[1]+c[0][j- w[1]]}。即c[1][0,1,2.......,9,10]由c[0][0,1,2.......,9,10]得到。

          因此我们可以利用a[j]表示c[0][j],用b[j]表示c[1][j],首先b[0]=a[0] = 0,b[1]=a[1]=0,.........b[10]=a[10]=0。将数组b和数组a值设为一样。然后如果w[i]< j,再根据公式b[j]=max{a[j],p[1]+a[j-w[1]]}，重新确定b[j]的值，如果w[i] >= j，则不变。

          但是我们仔细观察一下次公式b[j]=max{a[j],p[1]+a[j-w[1]]}，发现b[j]得值由a[k],p[1]和w[1]所得，而k的 取值范围是0<=k<=j,即b[j]由数组a中下标小于j的元素得到。因此我们可以将j从大到小使用来得到b[j]，当i = 0时候，a[0] =  a[1] = a[2]=a[3]=..............=a[10]=0,当i=1时，先设定 b[0] = a[0],b[1]=a[1],b[2]=a[2],b[3]=a[3],..............=b[10]=a[10],我们先计算 b[10],b[10]=max{a[10],p[1]+a[10-w[1]]}=max{a[10],4+a[7]}，此处 p[1]=4,w[1]=3;因为a[10]=b[10],a[7]=b[7]，因此b[10]=max{b[10],4+b[7]}=4，至此数组b和 数组a只有第10个元素值不想等，其他元素都相等；b[9]=max{a[9],p[1]+a[9- w[1]]}=max{a[9],4+a[6]}，a[9]=b[9],a[6]=b[6]，因此b[9]=max{b[9],b[6]+4}=4,至此 数组b和数组a只有第9，10个元素值不想等，其他元素都相等；因此求的 b[8]=max{b[8],4+b[5]},b[7]=max{b[7],4+b[4]}.............b[3]=max{b[3],4+b[0]}。 在求解过程中，我们发现只要按数组b元素下标从大到小求解，就可以用自己求的自己的值。

至此我们可以利用一个一维数组代替二维数组。

核心代码:

for (int i = 1; i <= N; i++){
    for(int j = M; j > 0; j--){
        if (c[i] <= j){
            if (c[j] > p[i]+c[j-w[i]]){
                c[j] = c[j];
            }else{
                c[j] = p[i] + c[j-w[i]];
            }
        }
    }
}

下面是用C++简单实现程序（VS2008通过）：

#include <cstdio>
const int  K = 100;


/*
输入格式：
10 3    //M=10,N=3
3 4     //w[1]=3,p[1]=4
4 5     //w[2]=4,p[2]=5
5 6     //w[3]=5,p[3]=6
*/

int max(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}

int main(){
    int M,N,w[K],p[K],i,j,f[K] = {0};
    scanf("%d%d",&M,&N);
    for (i = 1;i <= N;i++)
    {
        scanf("%d%d",&w[i],&p[i]);
    }

    for (i = 1;i <= N;i++)
    {
        for (j = M;j > 0;j--)
        {
            if (w[i] <= j)
            {
                f[j] = max(f[j],p[i]+f[j-w[i]]);
            }
        }
    }

    printf("%d\n",f[M]);
    return 0;
}

运行结果：