AVL树学习笔记

AVL树

注意！！！

本文学习参考自AVL树(一)之 图文解析 和 C语言的实现，这篇博客写的非常棒！讲解易懂，思路清晰，代码也写的非常好！大家快去看看！！（这里的代码就是参考（抄）他的，我懒= =）

为什么要有AVL树？

AVL树是最先被发明的高度自平衡二叉查找树。AVL树的名字取自它的发明者G.M.Adeison-Velsky和E.M.Landis的首字母。

所以平衡和不平衡有什么区别。我们先来看看原始的二叉搜索树。

这两棵都是二叉搜索树，他们可以很方便的进行结点的二分搜索。如果这个二叉树是比较工整(平衡）的话，那搜索的复杂度将会是O(lgn)。但根据我们创建二叉搜索树时插入结点顺序的不同，比如说，我们以6,5,4,3,2,1的顺序插入结点创建的话，会有：

这课树已经退化成了线性表了，对它进行查找的性能将大大折扣。究其原因，是因为这颗二叉搜索树的结点都偏向一边了，导致左右不平衡！所以我们要让他平衡。

AVL树的特点

1. 本身首先是一棵二叉搜索树。
2. 带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）小于2，且取值只能是-1,0或1。

AVL树的增删查的时间复杂度都是O(lgn)。

AVL树结构的定义

typedef struct node {
	int key;
	int height;  //用来计算平衡因子
	node* left;
	node* right;
}Node, *AVLTree;

AVL树旋转

AVL树插入或者删除节点后可能会导致其不再平衡，而需要调整。根据插入的位置不同，有LL、RR、LR、RL四种情况。

1.LL型：

LL的意思是，在（L）子树的（L）左孩子上插入结点，导致树不平衡。它需要进行一次右旋来恢复平衡。

//LL右单旋
Node* LL_rotation(AVLTree x) {
	AVLTree y;
	//旋转
	y = x->left;
	x->left = y->right;
	y->right = x;
	
	//更新高度
	x->height = max(HEIGHT(x->left), HEIGHT(x->right)) + 1;
	y->height = max(HEIGHT(y->left), x->height) + 1;

	return  y;
}

2.RR型：

//RR左单旋
Node* RR_rotation(AVLTree x) {
	AVLTree y;
	//旋转
	y = x->right;
	x->right = y->left;
	y->left = x;
	
	//更新高度
	x->height = max(HEIGHT(x->left), HEIGHT(x->right)) + 1;
	y->height = max(HEIGHT(y->right), x->height) + 1;

	return y;
}

3.LR型：

//LR左右双旋
Node* LR_rotation(AVLTree x) {
	x->left = RR_rotation(x->left);
	return LL_rotation(x);
}

4.RL型：

//RL右左双旋转
Node* RL_rotation(AVLTree x) {
	x->right = RR_rotation(x->right);
	return LL_rotation(x);
}

AVL树插入结点

AVL树插入结点时可能会引起不平衡，这种不平衡可能并不体现在被插入的那个最小的子树中，而是在它的上层，所以需要用递归的方法从下往上进行调整，或者改写数据结构，给结点增加一个指向父节点的指针，在迭代时向上回游。

//插入（递归进行插入和调整）
//调整的过程也是递归的，因为在子树中插入结点导致的不平衡可能会在上层或者向上传播
Node* insert_node(AVLTree tree, int key) {
	//终止条件，到末尾了，就创建该待插入结点
	if (tree == NULL) {
		tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL);
	}
	//在左子树插入
	else if (key <= tree->key) {
		tree->left = insert_node(tree->left, key);
		//插入结点后如果失去平衡，就要进行相应的调节
		if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2) {
			//LL型
			if (key < tree->left->key) {
				tree = LL_rotation(tree);
			}
			//LR型
			else {
				tree = LR_rotation(tree);
			}
		}
	}
	//在右子树插入
	else{
		tree->right = insert_node(tree->right, key);
		//失衡调整
		if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2) {
			//RR型
			if (key > tree->right->key) {
				tree = RR_rotation(tree);
			}
			else {
				tree = RL_rotation(tree);
			}
		}
	}
	//重新计算高度
	tree->height = max(HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1;
	return tree;
}

AVL树删除结点

删除结点和添加结点类似。

//递归进行删除和调整
Node* delete_node(AVLTree tree, int key) {
	//如果找不到，就返回空
	if (tree == NULL) {
		return NULL;
	}
	//在左子树中
	if (key < tree->key) {
		tree->left = delete_node(tree->left, key);
		//失衡调整
		if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2) {
			Node* r = tree->right;
			if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right))
				tree = RL_rotation(tree);
			else
				tree = RR_rotation(tree);
		}
	}
	//在右子树中
	else if (key > tree->key) {
		tree->right = delete_node(tree->right, key);
		//失衡调整
		if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2) {
			Node* l = tree->left;
			if (HEIGHT(l->left) > HEIGHT(l->right))
				tree = LL_rotation(tree);
			else
				tree = LR_rotation(tree);
		}
	}
	//找到要删除结点
	else {
		//左右子树非空
		if (tree->left&&tree->right) {
			//左子树比右子树高，用前驱节点顶替
			if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right)) {
				Node* pre = maximum(tree->left);
				tree->key = pre->key;
				//在左子树递归删除替身结点
				tree->left = delete_node(tree->left, pre->key);
			}
			//右子树比左子树高，用后继结点顶替
			else {
				Node* suc = minmum(tree->right);
				tree->key = suc->key;
				//在右子树递归删除替身结点
				tree->right = delete_node(tree->right, suc->key);
			}
		}
		//其中一个子树为空
		else {
			//记住待删除结点
			Node* tmp = tree;
			tree = tree->left ? tree->left : tree->right;
			delete tree;
		}
	}
	//重新计算高度
	if(tree)
		tree->height = max(HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1;
	return tree;
}

参考资料：AVL树(一)之 图文解析 和 C语言的实现