高斯消元法
高斯消元法,是线性代数中的一个算法,可用来求解线性方程组,并可以求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是:
若用初等行变换将增广矩阵 化为 ,则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵,然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾,下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先,先介绍程序中高斯消元法的步骤:
(我们设方程组中方程的个数为equ,变元的个数为var,注意:一般情况下是n个方程,n个变元,但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1,当前处理的列为col(初始为0) ,每次找第k行以下(包括第k行),col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0,那么则处理col + 1列,k不变。
3. 转换为行阶梯阵,判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式,且a != 0时,说明是无解的。
② 唯一解
条件是k = equ,即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k < equ,即不能形成严格的上三角形,自由变元的个数即为equ – k,但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法:
首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个。我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数,如果大于1个,则该方程无法求解。如果只有1个变元,那么该变元即可求出,即为确定变元。
以上介绍的是求解整数线性方程组的求法,复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似,但是要在判断是否为0时,加入EPS,以消除精度问题。
下面讲解几道OJ上的高斯消元法求解线性方程组的题目:
POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter's Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 开关问题
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830
POJ 3185 The Water Bowls
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
开关窗户,开关灯问题,很典型的求解线性方程组的问题。方程数和变量数均为行数*列数,直接套模板求解即可。但是,当出现无穷解时,需要枚举解的情况,因为无法判断哪种解是题目要求最优的。
POJ 2947 Widget Factory
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同余方程组问题。与一般求解线性方程组的问题类似,只要在求解过程中加入取余即可。
注意:当方程组唯一解时,求解过程中要保证解在[3, 9]之间。
POJ 1166 The Clocks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166
经典的BFS问题,有各种解法,也可以用逆矩阵进行矩阵相乘。
但是这道题用高斯消元法解决好像有些问题(困扰了我N天...持续困扰中...),由于周期4不是素数,故在求解过程中不能进行取余(因为取余可能导致解 集变大),但最后求解集时,还是需要进行取余操作,那么就不能保证最后求出的解是正确的...在discuss里提问了好几天也没人回答...希望哪位路 过的大牛指点下~~
POJ 2065 SETI
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065
同样是求解同余方程组问题,由于题目中的p是素数,可以直接在求解时取余,套用模板求解即可。(虽然AC的人很少,但它还是比较水的一道题,)
POJ 1487 Single-Player Games
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487
很麻烦的一道题目...题目中的叙述貌似用到了编译原理中的词法定义(看了就给人不想做的感觉...)
解方程组的思想还是很好看出来了(前提是通读题目不下5遍...),但如果把树的字符串表达式转换成方程组是个难点,我是用栈 + 递归的做法分解的。首先用栈的思想求出该结点的孩子数,然后递归分别求解各个孩子。
这题解方程组也与众不同...首先是求解浮点数方程组,要注意精度问题,然后又询问不确定的变元,按前面说的方法求解。
一顿折腾后,这题居然写了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA,G++ AC,可能还是精度的问题吧...看这题目,看这代码,就没有改的欲望...
hdu OJ 2449
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449
哈尔滨现场赛的一道纯高斯题,当时鹤牛敲了1个多小时...主要就是写一个分数类,套个高精模板(偷懒点就Java...)搞定~~
注意下0和负数时的输出即可。
fze OJ 1704
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
福大月赛的一道题目,还是经典的开关问题,但是方程数和变元数不同(考验模板的时候到了~~),最后要求增广阵的阶,要用到高精度~~
Sgu 275 To xor or not to xor
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275
题解:
http://hi.baidu.com/czyuan%5Facm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee.html
这里提供下自己写的还算满意的求解整数线性方程组的模板(浮点数类似,就不提供了)~~
/* 用于求整数解得方程组. */ #include <iostream> #include <string> #include <cmath> using namespace std; const int maxn = 105; int equ, var; // 有equ个方程,var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1,列数为var + 1,分别为0到var. int a[maxn][maxn]; int x[maxn]; // 解集. bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元. int free_num; void Debug(void) { int i, j; for (i = 0; i < equ; i++) { for (j = 0; j < var + 1; j++) { cout << a[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << endl; } inline int gcd(int a, int b) { int t; while (b != 0) { t = b; b = a % b; a = t; } return a; } inline int lcm(int a, int b) { return a * b / gcd(a, b); } // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解,-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数) int Gauss(void) { int i, j, k; int max_r; // 当前这列绝对值最大的行. int col; // 当前处理的列. int ta, tb; int LCM; int temp; int free_x_num; int free_index; // 转换为阶梯阵. col = 0; // 当前处理的列. for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++) { // 枚举当前处理的行. // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差) max_r = k; for (i = k + 1; i < equ; i++) { if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i; } if (max_r != k) { // 与第k行交换. for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]); } if (a[k][col] == 0) { // 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列. k--; continue; } for (i = k + 1; i < equ; i++) { // 枚举要删去的行. if (a[i][col] != 0) { LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col])); ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]); if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加. for (j = col; j < var + 1; j++) { a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb; } } } } Debug(); // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). for (i = k; i < equ; i++) { // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换. if (a[i][col] != 0) return -1; } // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵. // 且出现的行数即为自由变元的个数. if (k < var) { // 首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个. for (i = k - 1; i >= 0; i--) { // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行. // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的. free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元. for (j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j; } if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元. // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的. temp = a[i][var]; for (j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]; } x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元. free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的. } return var - k; // 自由变元有var - k个. } // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. for (i = var - 1; i >= 0; i--) { temp = a[i][var]; for (j = i + 1; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j]; } if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解,但无整数解. x[i] = temp / a[i][i]; } return 0; } int main(void) { freopen("Input.txt", "r", stdin); int i, j; while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF) { memset(a, 0, sizeof(a)); memset(x, 0, sizeof(x)); memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元. for (i = 0; i < equ; i++) { for (j = 0; j < var + 1; j++) { scanf("%d", &a[i][j]); } } // Debug(); free_num = Gauss(); if (free_num == -1) printf("无解!\n"); else if (free_num == -2) printf("有浮点数解,无整数解!\n"); else if (free_num > 0) { printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num); for (i = 0; i < var; i++) { if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1); else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); } } else { for (i = 0; i < var; i++) { printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]); } } printf("\n"); } return 0; }