动态规划算法初步总结

动态规划（DP）=状态表示+状态计算

其中：

　　状态表示为：集合（前i-1个元素的有限集合构成的最优解）+属性（max or min）

状态计算为是否将第i个元素加入集合中，即通过判断加入或不加入是否更符合优化目标决定

步骤可总结为：

输入
为使循环顺利进行，给目标数组赋边界值。多为一维数组为第0位取零，二维数组第0行第0列取零，对角线取零等
目标数组赋初值，可赋当前状态-1时的值
目标数组从1到n循环计算，判断是否将第i个元素加入集合中
输出数组最后一项

关键在于构造递推方程，正确理解状态概念可以降低构造递推方程的难度

目前DP问题代码大都没有成型的步骤和体系，对初学者并不友好，初学者可能陷入仅仅背过一道题的代码而不会处理其它问题的境地。按照以上步骤处理可以解决很多简单的DP问题，实现初步掌握这一类题。

例如：
①0-1背包问题

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3+10;
int main()
{
    int n, v; cin >> n >> v;
    int value[N], volume[N];
    int key[N][N];
    for (int i = 1; i <= n; i++)    scanf("%d%d", &volume[i], &value[i]);
    //输入部分

    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        key[i][0] = 0; key[0][i] = 0;//赋两位下标取0时的边界值

    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= v; j++)
        {
            key[i][j] = key[i - 1][j];//根据当前状态减一给目标数组赋初值
            if (j - volume[i] >= 0)
            {
                int temp = key[i - 1][j - volume[i]] + value[i];
                if (temp > key[i][j])       key[i][j] = temp;
            }//判断是否将第i个元素加入集合中
        }
    }
    cout << key[n][v] << endl;
    return 0;
}

②图像压缩问题

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 1e3+10;
int main()
{
    int n; cin >> n;
    int p[N], b[N];
    for (int i = 1; i <= n; i++)    scanf("%d", &p[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)   b[i] = ceil(log(p[i] + 1) / log(2));
    int key[N]; 
　　key[0] = 0;//边界值

for (int i = 1; i <= n; i++)   key[i] = key[i - 1]+ b[i]+11;
//根据当前状态减一给目标数组赋初值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int bmax=0;
        for (int j =i-2; j >=1; j--)
        {
            if (b[j] > bmax)   bmax = b[j];
            int temp= key[j] + (i - j)*bmax+11;
            if (key[i] > temp)  key[i] = temp;   
        }//判断是否将第i个元素加入集合中
    } 
    cout << key[n];
    return 0;
}

③公共子序列

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3+10;
int main()
{
    int n,m; cin >> n>>m;
    char a[N], b[N];
    cin >> a + 1 >> b +1;
    int key[N][N];
    for (int i =0; i <= n; i++)   key[i][0] = 0;
    for (int i = 0; i <=m; i++)   key[0][i] = 0;//边界取零
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            key[i][j] = max(key[i - 1][j],key[i][j-1]);//赋初值
            if (a[i] == b[j])  key[i][j] =max(key[i-1][j-1]+1,key[i][j]);
        }
    }
    cout << key[n][m];
    return 0;
}

④矩阵连乘

#include <iostream>using namespace std;
const int N = 1e2 + 10;
int main()
{
    int key[N][N],p[N];
    int n; cin >> n;
    for (int i = 0; i <= n; i++)   scanf("%d", &p[i]);
    for (int i = 0; i <= n; i++)     key[i][i] = 0; //边界值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)
        {
            key[i][j] = key[i][j-1]+p[i-1]*p[j-1]*p[j]; //赋间隔为一的初值
            for (int k = i + 1; k <= j; k++)
            {
                int temp = key[i][k]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if (temp < key[i][j])   key[i][j] = temp;
            }
        }
    }
    cout << key[1][n];
    return 0;
}