乘法逆元&组合数

要求（a / b） mod p的值，但 a 很大，无法直接求得a / b的值时，就要用到乘法逆元。 

b * x ≡ 1 (mod p) 

x的最小正整数解k叫做b关于模p的乘法逆元。

(a / b) mod p = (a * k) mod p

 

证明：

k = (n*p + 1) / b

(a * k) mod p = (a * (n*p + 1) / b) mod p = (a / b * (n*p + 1) ) mod p = (a / b * (n*p + 1) mod p ) mod p = (a / b) mod p

 

扩展欧几里得法

b < p 且 b, p互质

简洁写法

long long pow_m(long long a, int n) {
    long long s = 1;
    while (n) {
        if(n % 2) s *= a;
        a = (a * a) % MOD;
        s %= MOD;
        n /= 2;
    }
    return s;
}

 

欧拉函数

p为素数，且b和p互质

long long pow_m(long long a, int n) {
    long long s = 1;
    while (n) {
        if(n % 2) s *= a;
        a = (a * a) % MOD;
        s %= MOD;
        n /= 2;
    }
    return s;
}

k = pow_m(b, p - 2) % p

 

阶乘逆元 和 组合数

const int MOD = 1e9 + 7;
const int MAX = 2e5 + 100;
long long fac[MAX];
long long inv_fac[MAX];
void init() {
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < MAX; i++) {
        fac[i] = (fac[i - 1] * i) % MOD;
    }
    inv_fac[MAX - 1] = inv(fac[MAX - 1], MOD);
    for(int i = MAX - 2; i >= 0; i--) {
        inv_fac[i] = (inv_fac[i + 1] * (i + 1)) % MOD;
    }
}

long long c(int m, int n) {
    return fac[m] * inv_fac[m - n] % MOD * inv_fac[n] % MOD;
}