Luogu P3986

题面

我们把题目中给出的数列 $f$ 的各项用 $a$ 和 $b$ 一个个列出来：

$$a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b\dots$$

用 $fi{b}_i$ 表示斐波那契数列的第 $i$ 项（下标从 $0$ 开始），容易发现，$f(n)=fi{b}_{n-2}a+fi{b}_{n-1}b$。

所以问题就转化成了，求下列每个不定方程的正整数解的个数和：

$$\begin{gathered} fi{b}_{0}a+fi{b}_{1}b=k \\ fi{b}_{1}a+fi{b}_{2}b=k \\ fi{b}_{2}a+fi{b}_{3}b=k \\ \cdots \end{gathered}$$

由于 $a,b$ 都是正整数，当 $fi{b}_{i-1}+fi{b}_i>k$ 时就不用再往下枚举了。而由于斐波那契数列呈接近指数增长，所以实际我们需要枚举的不定方程个数非常有限。

对于枚举到的不定方程，设 $c=fi{b}_{i-1},d=fi{b}_i$，我们要求出 $ac+bd=k$ 的正整数解个数。

假设我们现在求出了一个最小的 $b_0$，使 $b_{0}d<k$ 且 $c\mid k-b_{0}d$，那么，首先 $b_0$ 和对应的 $a_0$ 是第一组解，然后每隔 $\mathrm{lcm}(c,d)$ 个数就又出现一组解，所以总共有 $\lfloor {\displaystyle \frac{k-b_{0}d-1}{\mathrm{lcm}(c,d)}}\rfloor +1$ 组解。

而 $b_0$ 我们从 $1$ 开始暴力枚举就可以求出来，因为开始时 $fib$ 很小，很快就能枚举出答案，而往后 $fib$ 很大，没枚举几个就超过 $k$ 了，所以很难卡掉。

代码就非常简单了:

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr int p = 1e9 + 7;
ll k, fib[100];
ll gcd(ll a, ll b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
ll lcm(ll a, ll b) {
    return a / gcd(a, b) * b;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> k;
    fib[0] = fib[1] = 1;
    int e = 1;
    for(; fib[e] + fib[e - 1] <= k; ++e)
        fib[e + 1] = fib[e] + fib[e - 1];
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i < e; ++i) {
        ll a = fib[i - 1], b = fib[i];
        ll x = 1;
        while((k - b * x) % a && k > b * x) ++x;
        if(k <= b * x) continue;
        ans = (ans + (k - b * x - 1) / lcm(a, b) + 1) % p;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}