Luogu P3336

题面

因为我也是看了大佬的题解才写的（第一问），自认为自己讲得不可能比他们再好了，但是因为好多第二问的题解都被hack了，所以这里详细讲一下第二问的正确做法。

初中平几课堂开课啦

其实思路很简单，利用贪心的思想，能往上走就往上走，能走多高就走多高，来看这个图：

点 $A$ 是当前点，点 $B$ 是前一个点，点 $C$ 是这个路径能到达的最高点，设 $A$ 坐标是 $(x_1,y_1)$ ， $B$ 坐标为 $(x_0,y_0)$ 。

容易得出：

$$\because AD=x_1-x_0,BD=y_1-y_0=DE$$

$$\therefore AE=(x_1-x_0)-(y_1-y_0)=x_1-x_0+y_0-y_1$$

$$\therefore CF=\frac{1}{2}AE=\frac{x_1-x_0+y_0-y_1}{2}$$

$$\therefore y_C=y_1+CF=\frac{x_1-x_0+y_0+y_1}{2}$$

第二问答案就是所有 $C$ 的最大值，即：

maxn=max(maxn,(x1-x0+y0+y1)>>1);

但是，需要注意的是，如果在 $B$ 点不能往上走，上面的公式就不好用了，比如这个hack：

18 3
2 2
4 2
12 6

ans:
1 6

画出来唯一解法是这样的：

但如果我们按上面的方法做，第二问的答案会是8，为什么呢？

如果我们仍按以上方法算，第二问会被认为这样的：

但显然这是错的，因为不满足题目所要求的函数极小值为 $0$ 。

分析产生这种情况的原因：在计算第二问的时候，没有考虑到前一个点不能往上走的情况。

那么何时不能往上走呢？

也很简单，因为我们之前设 $f_{i,0/1}$ 为第 $i$ 个点上升/下降的方案数，则第 $i$ 个点不能上升就是 $f_{i,0}=0$ 的情况。

那么如果它不能上升，我们就让它下降到 $0$ ，以这个点作为我们之前分析的 $B$ 点，即：

if(!f[i-1][1])x0=x0+y0,y0=0;

这样第二问就结束了。第二问本身不难，但问题出在没有把情况像第一问一样考虑全，导致一些想当然的错误做法，因此告诫自己：

一定要在考虑问题时思考全面，实在不行把所有可能性罗列出来！