数论基础

数论基础

基本概念：

模：$amodp$ 即 $a÷p$ 的余数

整除：$a\mid b$ 即 $bmoda=0$ ，同时称 $a$ 是 $b$ 的因数（约数）

质数：有且只有两个约数的数（ $1$ 不是质数，因为它只有一个约数）

质因数分解：将一个正整数 $n$ 分解为 $n=\prod _{i=1}{p}_i^{k_i}(p_i\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数},k_i\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{\ast }})$ 的形式叫做质因数分解

同余：$a\equiv b(\mathrm{mod}p)$ 即 $amodp=bmodp$

最大公约数：$gcd(a,b)$ ，顾名思义即 $a$ 和 $b$ 的公有的约数中最大的一个，无歧义时可记作 $(a,b)$

互质：$a$ 与 $b$ 互质即 $gcd(a,b)=1$，记作 $a\perp b$

快速幂

目的：快速求出

$$a^{b}modp$$

考虑将 $b$ 按二进制位分解：

$$b=\sum _{i\ge 0}{k}_i{2}^i$$

其中 $i$ 是非负整数， $k_i\in \{0,1\}$ ，是 $b$ 每一二进制位上的值。

根据幂运算的性质 $x^m{x}^n=x^{m+n}$ 则

$$a^b=\prod _{i\ge 0}{a}^{k_i{2}^i}$$

因此我们只需要求出 $a^{2^0},a^{2^1},a^{2^2}\dots$ ，就能在 $O(\log b)$ 的复杂度内求出 $a^{b}modp$ 。

code:

typedef long long ll;
ll fast_pow(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

最大公约数

显然的性质：

• $gcd(a,0)=a$
• $gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$

由第二条性质可以推得：

$$gcd(a,b)=gcd(a-kb,b)$$

其中 $k$ 为整数，也就是

$$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$$

我们只需要一直模到 $b=0$ ，此时 $gcd(a,b)$ 就是 $a$ 。

这就是著名的欧几里得算法（辗转相除法），复杂度 $O(\log max(a,b))$ 。

code:

int gcd(int a,int b){
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得算法

形如 $ax\equiv c(\mathrm{mod}b)$ 的同余方程叫做线性同余方程。显然，此方程与不定方程 $ax+by=c$ 同解。

其中显然，当且仅当 $gcd(a,b)\mid c$ 时，方程有整数解。

扩展欧几里得算法就是求出 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组整数解。

如果我们还知道一组 $x^{\prime },y^{\prime }$，能使

$$ax+by=b{x}^{\prime }+(amodb)y^{\prime }=gcd(a,b)$$

由于 $amodb=a-b\times \lfloor \frac{a}{b}\rfloor$：

$$ax+by=b{x}^{\prime }+(a-b\times \lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y^{\prime }$$

$$ax+by=b{x}^{\prime }+a{y}^{\prime }-b\times \lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y^{\prime }$$

$$ax+by=a{y}^{\prime }-b\times (x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y^{\prime })$$

因此当

$$x=y^{\prime },y=x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y^{\prime }$$

时，方程一定有解。

那么这个过程就变成了一个递归的过程，每次递归下去都会由 $a,b$ 变成 $b,amodb$，容易发现，这和欧几里得算法的过程是一样的，最后一定会有 $a=gcd(a,b),b=0$ 的时刻，这就是递归出口。

方程 $gcd(a,b)x+0\times y=gcd(a,b)$ 的整数解一定是 $x=1,y\in \mathbb{Z}$ ，建议 $y$ 取 $0$。

code：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
}

最后对答案做一些处理，令 $x=(xmodb+b)modb$，就一定能得到最小整数解。

注意：利用扩展欧几里得求解时，参数不能为无符号，因为可能存在负数！

质数筛

埃氏筛

如果一个数是质数，它的所有不是自己的倍数都不是质数，因此将这些数标记不是质数。

而如果一个数不是任何小于它且不是 $1$ 的数的倍数，这个数一定是质数。

code：

bool not_prime[N];//标记数组
void init(){
    not_prime[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(not_prime[i])continue;
        for(int j=2;i*j<=n;j++)
            not_prime[i*j]=1;//标记质数的所有倍数
    }
}

时间复杂度 $O(n\log \log n)$ （我不会证明）。虽然 $\log \log n$ 很小，但是在数据极大的时候还是可以被卡掉（洛谷线性筛模板）。

欧拉筛（线性筛）

埃氏筛的复杂度里带一个 $\log \log$ ，就是因为对于同一个合数，可能会被标记多次。

欧拉筛可以避免这个问题，其目标是令每个合数只被其最小质因子标记一次。

code：

bool not_prime[N];//标记数组
int prime[N];//记录已经筛出来的质数
void init(){
    not_prime[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!not_prime[i])prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot;j++){//遍历已经筛出来的质数
            if(i*prime[j]>n)break;
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;//精髓
        }
    }
}

由于我太菜不会讲，正确性及原理详情出门左转洛谷线性筛模板题解区。

复杂度 $O(n)$ 。

此外，可以通过线性筛预处理每个数的最小质因数，进行高效的质因数分解。

费马小定理

$$p\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数}\mathrm{时}，a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$$

欧拉函数

欧拉函数定义为小于等于 $n$ 的所有整数中与 $n$ 互质的个数，记作 $\phi (n)$。$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，有：

$$\phi (n)=n\prod _{p|n,p\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数}}(1-\frac{1}{p})$$

特别地，$\phi (1)=1$。

对于这个式子，可以用容斥原理证明。
证明过程中最后那个因式分解可以用数学归纳法验证。

有了这个式子，则性质显然：

1. 若 $n$ 为质数，则 $\phi (n)=n-1$
2. 若 $m\perp n$，$\phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$
3. 若 $m|n$，$\phi (mn)=m\phi (n)$

因此，每个数的欧拉函数值可以用线性筛求出来：

bool not_prime[N];
int prime[N],phi[N];
void init(){
    vis[1]=1;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[tot++]=i;
            phi[i]=i-1;
            vis[i]=1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++){
            if(i*prime[j]>n)break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

欧拉定理

$$\mathrm{若}a\perp p，a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

证明：

对于整数 $p$，令 $S=\{x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid a\perp p\}$，则显然 $|S|=\phi (n)$。

对于一个整数 $a$，使 $a\perp p$，我们证明以下两命题：

1. $\mathrm{\forall }x\in S,ax\perp p$
2. $\mathrm{\forall }{x}_i\in S,x_j\in S,\mathrm{且}{x}_i\ne x_j,\mathrm{有}a{x}_i\not\equiv a{x}_j(\mathrm{mod}p)$

第一条显然。$a,x$ 均和 $p$ 没有相同因数，相乘后也一定没有相同因数。

对于第二条可利用反证法：若 $a{x}_i\equiv a{x}_j(\mathrm{mod}p)$，则 $x_i\equiv x_j(\mathrm{mod}p)$，与定义矛盾。因此 $a{x}_i\not\equiv a{x}_j(\mathrm{mod}p)$。

二者结合可知：如果令 $S^{\prime }=\{y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid y=axmodp,x\in S\}$，则一定有 $S=S^{\prime }$。

因此：

$$\prod _{y\in S^{\prime }}y\equiv \prod _{x\in S}x(\mathrm{mod}p)$$

即：

$$\prod _{x\in S}ax\equiv \prod _{x\in S}x(\mathrm{mod}p)$$

提取 $a$：

$$a^{|S|}\prod _{x\in S}x\equiv \prod _{x\in S}x(\mathrm{mod}p)$$

约简可得：

$$a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

容易看出费马小定理就是欧拉定理在 $p$ 为质数时的一种特殊情况。