SP17247

题面

我的方法好像和大家都不一样诶，那我就写个题解吧。

约定：

记 $[a,b]$ 为区间 $[a,b]$ 中每个数的数字和的和，$[a,b)$ 为区间 $[a,b)$ 中每个数的数字和的和。

分析：

首先将区间问题转化为前缀和问题，即 $[a,b]=[0,b]-[0,a-1]=[0,b+1)-[0,a)$。

也就是说我们只需要能求出任意的 $[0,n]=[0,n+1)$ 就可以了。

下面考虑如何求 $[0,n)$。

求解：

不难发现，如果我们把 $n$ 的按每一位拆开，比如如果 $n=4325$，则显然有 $[0,4325)=[0,4000)+[4000,4300)+[4300,4320)+[4320,4325)$。

形式化地说，如果令 $n=\sum _{i=0}^{\lfloor \lg n\rfloor }{a}_i{10}^i(a_i\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，则必然有：

$$[0,n)=\sum _{i=0}^{\lfloor \lg n\rfloor }[n-\sum _{j=0}^i{a}_i,n-\sum _{j=0}^{i-1}{a}_i)$$

（好像有点太形式化了）

我们考虑如何求 $[43000,43200)$：

我们发现，只要预处理求出 $\{a\},[0,{10}^i)$ 和 $[0,i](0\le i\le 9)$，然后按从例子中发现的规律，从高往低挨位处理，就可以快速求出 $[0,n)$ 的值了。

代码：

代码中有更明确的计算方式，可能更好理解吧。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define rep(i, s, e) for(int i = s; i <= e; ++i)
#define per(i, s, e) for(int i = s; i >= e; --i)
#define F first
#define S second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128_t i128;
typedef __uint128_t u128;
typedef pair<int, int> pii;
ll pw10[20], g[10], s0[20]; // pw10[i]: 10的i次幂，g[i]: [0,i]或[0,i+1)，s0[i]: [0,10^i)
void init() {
    pw10[0] = 1;
    rep(i, 1, 15) pw10[i] = pw10[i - 1] * 10;
    rep(i, 1, 9) g[i] = g[i - 1] + i;
    s0[1] = 45;
    rep(i, 1, 15) s0[i] = s0[i - 1] * 10 + 45 * pw10[i - 1]; // [0,9]=45
}
ll calc(ll x) {
    ll dg[20] = {}, ans = 0, j = 0;
    while(x) {
        dg[j++] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    ll s = 0;
    per(i, j, 1) { // 核心部分
        s += dg[i];
        ans += s * dg[i - 1] * pw10[i - 1];
        ans += dg[i - 1] * s0[i - 1];
        if(dg[i - 1]) ans += g[dg[i - 1] - 1] * pw10[i - 1];
    }
    return ans;
}
int main() {
#ifdef ONLINE_JUDGE
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
#endif
    init();
    int t; cin >> t;
    while(t--) {
        ll a, b; cin >> a >> b;
        cout << calc(b + 1) - calc(a) << endl;
    }
    return 0;
}