CF1798E

题面

看到要求每一位的答案，首先考虑倒着扫，因为加数一般都比删数好做。

对于任意长为 $m$ 的的序列 $\{b\}$，我们都可以通过将 $b_1$ 改成 $1$，将 $b_2$ 改成 $m-2$ 使得 $\{b\}$ 成为一个 multitest，因此操作数不会超过 $2$。

现在讨论答案的三种情况：

• 答案为 $0$：$\{b\}$ 已经是一个 multitest 了。
• 答案为 $1$：$\{b\}$ 可以通过一次修改变成一个 multitest。
• 答案为 $2$：排除了前两种之后的情况。

对于一个位置 $i$，它的后缀能构成一个 multitest 的充要条件是：$i+1$ 的后缀能构成若干个 test，且 $a_i$ 的值等于 $i+1$ 的后缀构成的 test 数。

设 $f_i$ 表示 $i$ 的后缀能构成的 test 的个数，不难得出转移方程如下：

$$f_i=\{\begin{array}{l}1,i+a_i=n\\ 0,i+a_i>n\mathrm{or}{f}_{i+a_i+1}=0\\ f_{i+a_i+1}+1,\text{otherwise}\end{array}$$

$\{f\}$ 可以 $\mathrm{\Theta }(n)$ 求出。第 $i$ 位答案为 $0$ 的充要条件就是 $f_{i+1}\ne 0$ 且 $a_i=f_{i+1}$。

如果答案不为 $0$，考虑两种情况：

1. $f_{i+1}\ne 0$，但是 $a_i\ne f_{i+1}$。
2. $f_{i+1}=0$。

对于第一种情况，令 $a_i\leftarrow f_{i+1}$ 即可，操作数为 $1$。

对于第二种情况，如果想要答案为 $1$，显然需要对 $i+1$ 的后缀中的某一个数进行修改，使修改后 $i+1$ 的后缀能构成 $a_i$ 个 test。

设 $g_i$ 表示在 $i$ 的后缀中进行一次修改后，能得到的最多 test 数。

这个修改有两种情况：

1. 修改 $a_i$。这意味着我们可以随意改变第一个 test 的长度，也就是这第一个 test 可以接在后面的任意一个状态的前面，这种情况能得到的最大值为 $\underset{j=i+1}{\overset{n}{max}}{f}_j+1$。
2. 不修改 $a_i$。因为 $a_{i+1}$ 到 $a_{i+a_i}$ 之间的数会被 $a_i$ 所在的 test 所包含，所以只有修改 $i+a_i+1$ 的后缀中的某个数才能有贡献。因此这种情况能得到的最大值为 $\underset{j=i+a_i+1}{\overset{n}{max}}{g}_j+1$。

后缀最大值可以边做边求，因此 $\{g\}$ 也可以 $\mathrm{\Theta }(n)$ 求出。那么“对 $i+1$ 的后缀中的某一个数进行修改后，$i+1$ 的后缀能构成 $a_i$ 个 test”的充要条件就是 $g_{i+1}\ge a_i$。

之所以这里是大于等于号，是因为如果能修改 $a_p$ 形成 $x$ 个 test，那一定可以通过“让 $a_p$ 更大，覆盖掉下一个 test”或“让上一个 test 的第一个元素更大，覆盖掉 $a_p$ 所在的 test”，形成 $x-1$ 个 test。

剩下的情况答案就是 $2$ 了。

时间复杂度显然 $\mathrm{\Theta }(n)$。

赛时 AC 记录。