CF1798C

题面

形式化题意：

给出长为 $n$ 的两个序列 $\{a\}$ 和 $\{b\}$，定义序列 $\{c\}$ 满足：$c_i=d_i{b}_i$，其中 $d_i\mid a_i$。求 $\{c\}$ 最少能被分成多少个连续段，使得每个连续段内的值相同。

首先对于一个 $i$，如果 $c_i$ 能和 $c_{i-1}$ 分到同一个段里，那么一定优于它单独成段或者和 $c_{i+1}$ 分到同一段里。因为在一个段里加一个数只会让这个段的限制更紧。

基于这个贪心有了一个思路：对于一个左端点 $l$，找到它能形成的最长合法连续段的右端点 $r$，然后令 $ans\leftarrow ans+1,l\leftarrow r+1$ 继续直到 $l>n$。

现在问题来到对于一个 $l$，如何快速求 $r$。

不妨对 $\{c\}$ 的构造方式做一下转化：$c_i={\displaystyle \frac{a_i{b}_i}{e_i}}$，其中 $e_i\mid a_i$。由此可以发现，如果一个区间 $[l,r]$ 合法，则这个区间的 $c$ 值一定是 $\underset{i=l}{\overset{r}{gcd}}{a}_i{b}_i$ 的约数，并且显然取最大公约数是最优的，由此可以求出每个 $i$ 对应的 $e$。同时不难发现 $r$ 的出现满足可二分性，因此只要 ST 表求区间 $gcd$，二分答案即可。

赛时 AC 记录。

时间复杂度分析：ST 表初始化是 $O(n{\log }^{2}n)$。设 $len=r-l+1$，由于 check 在检测到不合法后立即返回，所以 check 一次的复杂度是 $O(len)$，二分一次就是 $O(len\log n)$，又因为 $\sum len=n$，所以二分答案总时间复杂度为 $O(n\log n)$。程序总复杂度为 $O(n{\log }^{2}n)$。常数好像挺小的。