ARC009C

见标题进系列
翻译出来挨打

考虑 $N=K$ 的情况，显然就是一个错排数问题：$N$ 个有编号的球和 $N$ 个有编号的盒子，每个盒子能且仅能放一个球，能令每个盒子中的球的编号和盒子的编号都不一样的方案数。这里简单推导一下：

令 $D_i$ 表示 $i$ 个请柬都没有放在应有位置上的方案数。

考虑第 $1$ 个球，它显然不能放在 $1$ 号盒子，也就是说它总共有 $i-1$ 种可能的选择。

假设 $1$ 号球放在了第 $k$ 号盒子里，那么考虑第 $k$ 号球，它现在有两种选择：

• 放在 $1$ 号盒子
• 不放在 $1$ 号盒子

如果放在了 $1$ 号盒子，那么剩下的 $i-2$ 个球都不会受影响，此时方案数等于 $D_{i-2}$。
如果没有放在 $1$ 号盒子，那么此时的 $1$ 号盒子就相当于第 $k$ 号盒子（第 $k$ 号球不能放在里面），其他球不受影响，相当于只有一个 $1$ 被拿走了，方案数等于 $D_{i-1}$。

由于 $1$ 号球共有 $i-1$ 种选择，因此我们有递推式：

$$\{\begin{array}{cc}& D_1=0,D_2=1\\ & D_i=(i-1)\times (D_{i-1}+D_{i-2})\end{array}$$

推完这个之后，我们再来看 $N>K$ 的情况。显然的，在 $N$ 个请柬里随意选出 $K$ 个，每种方案数就是 $D_K$。

也就是说，总方案数即为：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{K})\times D_K$$

组合数取模可以用 Lucas 定理。