[矩阵乘法]裴波拉契数列II

$$[矩阵乘法]裴波拉契数列II$$

Description

形如 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…的数列,求裴波拉契数列的第n项。

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Input

n (1< n <2^31）

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Output

一个数为裴波拉契数列的第n项mod 10000;

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Sample Input

123456789

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Sample Output

4514

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题目解析

首先看题面，是斐波那契数列。首先想到递归，但考虑到N的值比较大，就想办法将时间复杂度降到$O(logN)$以达到目的。

那么怎么将时间复杂度降下来呢？
我们将斐波那契数列的第$n$项定义为$f(n)$，然后考虑用矩阵乘法进行一个时间复杂度的优化

那么我们考虑矩阵$$⊏f[n-2],f[n-1]⊐$$并利用斐波那契数列的递推关系来得到式子$$⊏f[n],f[n-1]⊐=⊏f[n-2]+f[n-1],f[n-1]⊐$$

然后可以构造出一个 $2\ast 2$的矩阵$T$
$$\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right|$$
然后可以通过$f[1],f[2]\ast T=f[2],f[3]$来实现代码了

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Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

const int MOD = 10000;

int n;

struct matrix
{
	int n, m;
	int t[10][10];
}t1, t2, t3;

matrix operator *(matrix t, matrix r)
{
	matrix c;
	c.n = t.n, c.m = r.m;
	for (int i = 1; i <= c.n; ++ i)
		for (int j = 1; j <= c.m; ++ j) 
			c.t[i][j]=0;
	for (int k = 1; k <= t.m; ++ k)
	 for (int i = 1; i <= t.n; ++ i)
	  for (int j = 1; j <= r.m; ++ j)
	   c.t[i][j] = (c.t[i][j] + t.t[i][k] * r.t[k][j] % MOD) % MOD;
	return c;
}

void rt (int k)
{
	if (k == 1)
	{
		t2 = t1;
		return;
	}
	rt (k / 2);
	t2 = t2 * t2;
	if (k & 1) t2 = t2 * t1;
}

int main()
{
	scanf ("%d",&n);
	if (n == 1)
	{
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	t1.n = 2,t1.m = 2;	
	t1.t[1][1] = 0, t1.t[1][2] = 1, t1.t[2][1] = 1, t1.t[2][2] = 1;
	rt (n - 1);
	t3.n = 1,t3.m = 2;
	t3.t[1][1] = 1,t3.t[1][2] = 1;
	t3 = t3 * t2;
	printf ("%d", t3.t[1][1]);
	return 0;
}