[递推] A. 【例题1】错排问题

A. 【例题1】错排问题

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题目描述

求多少个$n$个数的排列$A$ ，满足对于任意的$i(1\le i\le n)$ 使$Ai\ne i$ 。

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输入格式

一个整数 。

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输出格式

一个整数，表示答案。

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样例

• 输入样例

2

• 输出样例

1

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数据范围与提示

对于$100\%$的数据，$1\le n\le 20$。

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题目解析

首先这道题我们考虑递推;

首先,先以$f(1)=0,f(2)=1$.(手推$1,2$项您总会吧)
再从$3$开始进行递推.

考虑从$n$个数分别放在不同的位置有$n$种方法,那么不放在原位就有$n-1$种方法.
再考虑从$n$中提取一个数$l$.
考虑两种情况

1. 把$l$放在原位上:那么除$l$外的$n-1$个数的方法就为$f(n-2)$
   ($n-1$个数放在不同的位置,有$n-1$种方法)
2. 不把$l$放在原位上:那么对于剩余的$n-1$个数就可以放在任何位,那么就是$f(n-1)$种方法(同$n$个数分别放在不同的位置,不放在原位的就是$l$)

那么我们就很容易可以得出递推式:
$$f(i)=\{\begin{array}{cc}& f(1)=0f(2)=1\\ & f(i)=(n-1)\ast (f(n-1)+f(n-2))(i>2)\end{array}$$

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Code

小小的提醒:$20$的数据也要开$long$ $long$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;

ll n, ans, a[25];

int main ()
{
	scanf ("%lld", &n);
	a[2] = 1;
	for (int i = 3; i <= n; ++ i)
	 a[i] = (i - 1) * (a[i - 1] + a[i - 2]);
	printf ("%lld", a[n]);
	return 0;	
}