[递推]B. 【例题2】奇怪汉诺塔

$$B.【例题2】奇怪汉诺塔$$

题目描述

汉诺塔问题，条件如下：

1. 这里有 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 四座塔。 这里有 $n$个圆盘，$n$ 的数量是恒定的。
2. 每个圆盘的尺寸都不相同。
3. 所有的圆盘在开始时都堆叠在塔 $A$上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。
4. 我们需要将所有的圆盘都从塔 $A$ 转移到塔 $D$ 上。
5. 每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。
6. 请你求出将所有圆盘从塔 $A$ 移动到塔$D$，所需的最小移动次数是多少。

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输入格式

没有输入。

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输出格式

对于每一个整数 $n(1\le n\le 12)$，输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

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题目解析

看题目,是汉诺塔,只是常规的三塔变成了四塔.
那么我们就考虑四塔的做法.

首先我们定义$d_i$为三塔时$n$个盘从$A$塔到$C$塔所需的步数.
那么可以得出(证明略):
$$d_1=1$$

$$d_i=d_{i-1}\ast 2-1(i>1)$$

然后我们定义$f(i)$为四塔汉诺塔的最优步数为考虑四塔汉诺塔的算法思想，叫Frame算法：

1. 用四柱汉诺塔算法把$A$柱上部分的$n-r$个碟子通过$C$柱和$D$柱移到$B$柱上(为$f(n-r)$步)。

2. 用三柱汉诺塔经典算法把$A$柱上剩余的$r$个碟子通过$C$柱移到$D$柱上(三塔汉诺塔$r$盘的步数)。

3. 用四柱汉诺塔算法把$B$柱上的$n-r$个碟子通过$A$柱和$C$柱移到$D$柱上(为$f(n-r)$步)。

4. 依据上边规则求出所有$r(1\le r\le n)$情况下步数$f(n)$，取最小值得最终解。

$$f[i]=min\{\begin{array}{cc}& f[i]\\ & 2\ast f[j]+d[i-j]\end{array}$$

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Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

ll d[305], f[305]; 

int main ()
{
	d[1] = f[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= 12; ++ i) 
		d[i] = d[i - 1] * 2 + 1;	 
	for (int i = 2; i <= 12; ++ i)
	{
		f[i] = 999999999;
		for (int j = 1; j <= i; ++ j)
			f[i] = min (f[i], 2 * f[j] + d[i - j]);
	}
	for (int i = 1; i <= 12; ++ i)
		printf ("%d\n", f[i]);
	return 0;
}