[递推]C. 【例题3】数的划分

$$C.【例题3】数的划分$$

题目描述

将整数 $n$ 分成 $k$ 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）。

例如：$n=7$,$k=3$,下面三种分法被认为是相同的：

$1,1,5;1,5,1;1,1,5.$

问有多少种不同的分法。

---

输入格式

两个整数， $n$和$k$ 。

---

输出格式

输出不同的分法数。

---

样例

输入样例

$73$

输出样例

$4$

样例说明

四种分法为：$1,1,5;1,2,4;1,3,3;2,2,3.$

---

题目解析

看题面,首先想到递推.
设$t(n,k)为$整数$n$分为$k$份的不同分法的数量.
因为不能为空,那么最小就只能分到$1$.
那么我们就可以得出:
$t(n,k)=1(n==k)$(因为每份最多都是$1$)
$t(n,k)=0(n<k)$(因为就算每份都只放$1$也不够放,而且都不能为空)

然后我们考虑两种情况

1. 有一份是装有$1$的:那么就有$t(n-1,k-1)$种情况
2. 没有一份是装有$1$的:那么就有$t(n-k,k)$种情况

那么就能得出递推式:
$$t(n,k)=\{\begin{array}{cc}& t(n,k)=1(n==k)\\ & t(n,k)=0(n<k)\\ & t(n,k)=t(n-1,k-1)+t(n-k,k)\end{array}$$

---

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, k, t[205][10];

int main ()
{
	scanf ("%d%d", &n, &k);
	memset (t, 0, sizeof (t));
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		for (int j = 1; j <= k; ++ j)
		{
			if (i == j) t[i][j] = 1; //每个都分1
			else if (i < j) t[i][j] = 0; //每个都分1也不够
			else t[i][j] = t[i - 1][j - 1]/*至少有一个份为1的方案数*/ + t[i - j][j]/*当没有任何一份为1时的方案数*/;
		}
	}
	printf ("%d", t[n][k]);
	return 0;
}