一个抽奖模型的求解

一个抽奖模型的求解

2013-06-19

 

问题描述：

         有3组数，分别都是 [0-9] 10个数字，从中随机分别各选择1个数字，不分先后顺序，作为开奖结果。开奖结果设定后，从中随机分别各选择1个数字，不分先后顺序，作为抽奖结果。

         如果3个数字与开奖结果完全匹配，则是一等奖；

         如果2个数字与开奖结果匹配，则是二等奖；

         如果1个数字与开奖结果匹配，则是三等奖；

         如果没有任何数字与开奖结果匹配，则不中奖；

         问：1. 开奖结果总共有多少种？

                   2. 一、二、三等奖的概率各是多少？

 

求解过程：

         首选计算开奖结果有多少种。从3组 [0-9] 10个数字中各选1个数字，那么有10^3=1000种情况，但是这是有序的情况。这里不考虑顺序，所以对于567与765这样的情况，是一种结果。所以，为了方便处理，我们对开奖结果设定为ABC，A、B、C 3个数字非降序排列。通过进而计算出现开奖结果有多少种。

         先考虑最直观的一种解法：不考虑非降序的情况，对1000中情况进行非降序处理，然后去重，统计个数即为开奖结果的数量。

         程序如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;

void foo(string& s, int n, char c = '0')
{
    if (s.size() >= n)
    {
        return;
    }
    else
    {
        s = string(n-s.size(), c) + s;
    }
}

int main()
{
    char s[3];
    string str;
    set<string> ss;
    for (int i = 0; i != 100; ++i)
    {
        itoa(i, s, 10);
        str = s;
        foo(str, 3);
        sort(str.begin(), str.end());
        ss.insert(str);
    }
    for (int i = 100; i != 1000; ++i)
    {
        itoa(i, s, 10);
        str = s;
        sort(str.begin(), str.end());
        ss.insert(str);
    }
    cout << ss.size() << endl;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

　　这样是处理了所有的1000个结果，对其排序并去重。有种更为笨拙的方法是，针对每个结果，去扫描前面是否已经出现过，不过这种原来和上面是一样的，只不过上面用了set时间复杂度为O(NlogN)，如果逐个扫描的时间复杂度为O(N^2)。

　　这两种方法都不太好，考虑到开奖结果是不区分顺序的，所以对于567、576、657、675、756、765这六种结果都可以看做是一种结果567，我们对结果进行非降序处理。处理后的形式为：ABC，其中A<=B<=C。根据非降序的特性，我们可以得到一种更为快捷的方式来计算开奖结果的数量。程序如下：

//2.cpp
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int total = 0;
    for (int A = 0; A != 10; ++A)
    {
        for (int B = A; B != 10; ++B)
        {
            for (int C = B; C != 10; ++C)
            {
                ++total;
            }
        }
    }
    cout << total << endl;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

 

         这种方法是根据非降序的特性得到的结果，时间复杂度为O(N)。

         综上所述，我们知道开奖结果总结有220种结果。

         那么，这220种结果有几种形式呢，注意，这里的220种是非降序处理后的。有以下四种形式：

         AAA

         AAB

         ABB

         ABC

         其中A<B<C。

         四种形式对应的数目分别为：

         AAA：3个数字一样，所以共计有10种

         AAB：9+8+7+…+1+0 = 45种

         ABB：9+8+7+…+1+0 = 45种

         ABC：220-10-45-45 = 120种

         也可由程序计算而得：

//3.cpp
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int total = 0;
    int aaa = 0;
    int aab = 0;
    int abb = 0;
    int abc = 0;
    for (int A = 0; A != 10; ++A)
    {
        for (int B = A; B != 10; ++B)
        {
            for (int C = B; C != 10; ++C)
            {
                if (A == B && B == C)
                {
                    ++aaa;
                }
                else if (A == B && B < C)
                {
                    ++aab;
                }
                else if (A < B && B == C)
                {
                    ++abb;
                }
                else // if (A < B && B < C)
                {
                    ++abc;
                }
                ++total;
            }
        }
    }
    cout << total << endl;
    cout << aaa << endl;
    cout << aab << endl;
    cout << abb << endl;
    cout << abc << endl;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

 

         综上所述，四种情况的种类数如下：

AAA	10
AAB	45
ABB	45
ABC	120

 

         现在我们计算一等奖的概率，讨论一等奖的概率需要分为以上四种情况。

1）  AAA

这种情况只有AAA这种形式，所以中一等奖的概率为 1/1000

2）  AAB

这种情况有AAB、ABA、BAA三种形式，中一等奖的概率为3/1000

3）  ABB

这种情况有ABB、BAB、BBA三种形式，中一等奖的概率为3/1000

4）  ABC

这种情况有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA六种形式，中一等奖的概率为6/1000

         所以，根据全概率公式得到一等奖的概率为：

         P(一等奖) = P(AAA)*P(一等奖|AAA) + P(AAB)*P(一等奖|AAB) + P(ABB)*P(一等奖|ABB) +

 P(ABC)*P(一等奖|ABC)

                             = 10/1000*1/1000 + 135/1000*3/1000 + 135/1000*3/1000 + 720/1000*6/1000

                             = 0.00514

 

         二等奖的概率：

1）  AAA

中二等奖既是匹配2个数字，所以抽检的结果只能是AAX这种，其中X!=A，所以概率为3*9/1000=27/1000

2）  AAB

a）    AAA 这种情况有1种

b）    AAX 这种情况有3*8种

c）    ABB 这种情况有3种

d）    ABX 这种情况有6*8种（X != A, X!= B）

所以，概率为76/1000

3）  ABB

a）  BBB 这种情况有1种

b）  XBB 这种情况有3*8种

c）  AAB 这种情况有3种

d）  ABX 这种情况有6*8种

所以，概率为76/1000

4）  ABC

a)         ABA 这种情况有3种

b)         ABB 这种情况有3种

c)         ABX 这种情况有6*7种

d)         ACA 这种情况有3种

e)         ACC 这种情况有3种

f)          ACX 这种情况有6*7种

g)         BCB 这种情况有3种

h)         BCC 这种情况有3种

i)           BCX 这种情况有6*7种

所以，概率为144/1000

 

所以，根据全概率公式得到二等奖的概率为：

P(二等奖) = P(AAA)*P(二等奖|AAA) + P(AAB)*P(二等奖|AAB) + P(ABB)*P(二等奖|ABB) +

P(ABC)*P(二等奖|ABC)

                             = 10/1000*27/1000 + 135/1000*76/1000 + 135/1000*76/1000 +

 720/1000*144/1000

                             = 0.12447

 

         三等奖的概率：

1）  AAA

a)         AXX：3*9=27种情况

b)         AXY：6*36=216种情况，或3*72=216种情况

                   所以，概率为243/1000

2）  AAB

a)         BBB：1种情况

b)         AXX：3*8=24种情况

c)         BBX：3*8=24种情况※

d)         BXX：3*8=24种情况

e)         AXY：6*28=168种情况，或3*56=168种情况

f)          BXY：6*28=168种情况，或3*56=168种情况

所以， 概率为409/1000

3）  ABB

a)         AAA：1种情况

b)         AAX：3*8=24种情况※

c)         AXX：3*8=24种情况

d)         BXX：3*8=24种情况

e)         AXY：6*28=168种情况，或3*56=168种情况

f)          BXY：6*28=168种情况，或3*56=168种情况

所以，概率为409/1000

4）  ABC

a)         AAA：1种情况

b)         AAX：3*7=21种情况※

c)         BBB：1种情况

d)         BBX：3*7=21种情况※

e)         CCC：1种情况

f)          CCX：3*7=21种情况※

g)         AXX：3*7=21种情况

h)         BXX：3*7=21种情况

i)           CXX：3*7=21种情况

j)           AXY：6*21=126种情况，或3*42=126种情况

k)         BXY：6*21=126种情况，或3*42=126种情况

l)           CXY：6*21=126种情况，或3*42=126种情况

所以，概率为507/1000

所以，根据全概率公式得到三等奖的概率为：

P(三等奖) = P(AAA)*P(三等奖|AAA) + P(AAB)*P(三等奖|AAB) + P(ABB)*P(三等奖|ABB) +

P(ABC)*P(三等奖|ABC)

                       = 10/1000*243/1000 + 135/1000*409/1000 + 135/1000*409/1000 +

720/1000*507/1000

                            = 0.4779

 

         不中奖的概率：

         P（不中奖）= 1 – P（一等奖）– P（二等奖）– P（三等奖）

                               = 1 - 0.00514 - 0.12447 - 0.4779

               = 0.39249

         从四种情况讨论不中奖的概率：

1）  AAA

a)         XXX：9种情况

b)         XXY：3*36=108种情况

c)         XYY：3*36=108种情况

或者b、c合并：9*8*3=216种情况

d)         XYZ：9*8*7=504种情况

所以，概率为729/1000，另一个角度为：9/10*9/10*9/10=729/1000

2）  AAB

8/10*8/10*8/10=512/1000

a)         XXX：8种情况

b)         XXY：3*28=84种情况

c)         XYY：3*28=84种情况

或者b、c合并：8*7*3=168种情况

d)         XYZ：8*7*6=336种情况

所以，概率为512/1000

3）  ABB

8/10*8/10*8/10=512/1000

a)         XXX：8种情况

b)         XXY：3*28=84种情况

c)         XYY：3*28=84种情况

或者b、c合并：8*7*3=168种情况

d)         XYZ：8*7*6=336种情况

所以，概率为512/1000

4）  ABC

7/10*7/10*7/10=343/1000

a)         XXX：7种情况

b)         XXY：3*21=63种情况

c)         XYY：3*21=63种情况

或者b、c合并：7*6*3=126种情况

d)         XYZ：7*6*5=210种情况

所以，概率为343种情况

所以，根据全概率公式得到不中奖的概率为：

P(不中奖) = P(AAA)*P(不中奖|AAA) + P(AAB)*P(不中奖|AAB) + P(ABB)*P(不中奖|ABB) +

P(ABC)*P(不中奖|ABC)

                       = 10/1000*729/1000 + 135/1000*512/1000 + 135/1000*512/1000 +

720/1000*343/1000

                            = 0.39249

 

         综上所述，针对未中奖的概率通过两种方法得到的概率是一致的。这也就证明了我们关于一、二、三等奖的计算是正确的。

奖项	概率
一等奖	0.00514
二等奖	0.12447
三等奖	0.4779
未中奖	0.39249

 

后记：下一步进一步讨论如下方面

1. 如何判断中奖，即如何判断匹配的数字数及具体匹配了哪些数字

2. 以上讨论的是3位的抽奖情况，针对N位的情况怎么办，针对N位的情况，如果得到一个开奖结果的汇总（递归实现？）