并查集详解-整理（超级简单有趣~~很好学的）

文章目录

• 并查集详解-整理（超级简单有趣~~很好学的）
• • 什么是并查集？（Union Find）
  • 并查集的主要步骤
  • • 1、初始化
    • 2、查找
    • 3、合并
  • 并查集的优化——路径压缩

并查集详解-整理（超级简单有趣~~很好学的）

什么是并查集？（Union Find）

==在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。==这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述解决这种问题。并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

并查集的主要步骤

1. 初始化
   ==把每个点所在集合初始化为其自身。==通常来说，这个步骤在每次使用该数据结构时只需要执行一次，无论何种实现方式，时间复杂度均为O(N)。
2. 查找
   查找元素所在的集合，即根节点。
3. 合并
   将两个元素所在的集合合并为一个集合。
   通常来说，合并之前，应先判断两个元素是否属于同一集合，这可用上面的“查找”操作实现。

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这是不是感觉有点懵，我们可以通过一个很形象的例子来解决这一问题（借助大佬例子）

话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。==而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。==这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。==于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。==由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。

1、初始化

用father[1000]来存储每个人的上级（用father更形象更有爱一点）😺那么我们先进行第一步

//一开始的时候每个人都不知道他们的上级，那么我们就暂且让他们的上级就是他们自己（我要做我自己，yeah）
void init(){
    for(int i=0;i<1000;i++){
        father[i]=i;
    }
}

2、查找

我们如果要知道两个人是不是可以做朋友，则要知道他们的掌门是谁？那么我们的前提就是寻找他们的掌门，OK，对每个人进行编号，那么我们来实现一个find方法。

//非递归实现find方法
//查找x的掌门。
int find(int x){
    int r=x;
    while(father[r]!=r){
        //一直委托上一级去寻找，知道委托人的上级是掌门。
        r=father[r];
    }
    return r;//返回掌门的编号。
}

//递归实现find方法。
int find(int x){
    if(father[x]!=x){
        //如果不是，则继续向上寻找，最后逐步返回掌门的编号。
        return find(father[x]);
    }
    else return x;
}

PS:一般都是用非递归实现find方法，主要是因为递归占用很大的空间，尤其是数据量较大的时候其空间复杂度是很大的。

3、合并

有了find方法，那么我们则可以进行比较了两个人的掌门是不是同一个人。如果是，则我们就知道他们是可以做朋友的。如果不是呢？其中一个人默默地问了一句：”我还有机会吗？“那我们怎能看着不管，反正我是不想去爬山，我就让他们的掌门打一架，谁输了谁服从于谁，当然，我是规则制定者，我就随意让其中一个人赢，那么剩下的一个就服从于他，也就是他的掌门就不是他自己了，而是winner。OK，那么我们再来定义make_friend方法。

void make_friend(int x,int y){
    //寻找他们的掌门，若是同一个人则无需更改，否则就更改。
    int fx=find(x);int fy=find(y);
    if(fx!=fy){
        father[fx]=fy;//让fx的上级成为fy。
    }
    //结束
}

以上三个函数就是并查集关键的方法，也是常用的模板。

并查集的优化——路径压缩

优化主要就是在find方法上，我们开始解释为什么要优化。

如果在武林中，门派特别多，门派中的成员也很多。那么我要让两个人做朋友的话，得寻找他们的掌门，可分层这么多，一级传着一级，每个人都得被烦死了，我们可不可以让每个人的上级直接就是掌门呢？这样的话就只有两层结构了，那么查找起来不就很快了，我们看下面这张图

设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻烦。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。=这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂也没关系，直接抄上用就行了。总之它所实现的功能就是这么个意思。（来自于大佬解析）

这就说的很明显了，我==们寻找到某个掌门之后，让寻找的那个人以及他的所有上级都改为掌门。==OK，我们来优化find方法。

//非递归版优化
int find(int x){
    //依旧是查找掌门。
    int r=x;
    while(father[r]!=r){
        r=father[r];
    }
    //找到了，先别着急返回，更改上级呀。
    int i=x,j;
    while(father[i]!=r){
        j=father[i];//层层往上
        father[i]=r;//更新上级。
        i=j;//置换角色。
    }
    return r;
}

//递归版优化
int find(int x){
    if(father[x]!=x){
        //那么我们也别先着急返回，一路更改上级，改完再返回。
        father[x]=find(father[x]);
    }
    return father[x];
}

OK，以上就是并查集的整个步骤，其中有挺多都是借助别人的思想，自己再整理形成的成果，如果有任何疑问都可以在评论区告诉我，我们一起进步。