Kruskal算法（~详细整理，简单易懂，附最全注释代码实现）

Kruskal算法

1、简介

Kruskal算法是一种用来查找最小生成树（$MST$）的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。求最小生成树的算法常用有两种：Kruskal算法和Prim算法。这里指路一篇Prim算法的详解blog：https://blog.csdn.net/hzf0701/article/details/107927858。与Prim算法不同的是，该算法的核心思想是归并边，而Prim算法的核心思想是归并点。这里我们会在后面的实现过程中看到。

2、构造过程

假设连通网$N=(V,E)$，将$N$中的边按权值从小到大的顺序排列。
①初始状态为只有$n$个顶点而无边的非连通图$T=(V,\{\})$，图中每个顶点自成一个连通分量。
②在$E$中选择权值最小的边，若该边依附的顶点落在$T$中不同的连通分量上（即不形成回路），则将此边将入到$T$中，否则舍去此边而选择下一条权值最小的边。
③重复②，直到$T$中所有的顶点都在同一连通分量上为止。

这个算法的构造过程十分简洁明了，那么为什么这样的构造过程能否形成最小生成树呢？我们来看第二个步骤，因为我们选取的边的顶点是不同的连通分量，且边权值是最小的，所以我们保证加入的边都不使得$T$有回路，且权值也最小。这样最后当所有的连通分量都相同时，即所有的顶点都在生成树中被连接成功了，我们构造成的树也就是最小生成树了。

3、示例

4、算法实现

步骤：
①将存储边的数组temp按权值从小到大排序，注意进行运算符重载。
②初始化连通分量数组$verx$。
③依次查看数组temp的边，循环执行以下操作。

• 依次从排好序的数组temp中选出一条边$(u,v)$；
• 在$verx$中分别查找$u$和$v$所在的连通分量$v_1和v_2$，进行判断。
  • 如果$v_1$和$v_2$不等，说明所选的两个顶点分别属于不同的连通分量，则将此边存入最小生成树$tree$，并合并$v_1$和$v_2$这个两个连通分量。
  • 如果$v_1$和$v_2$相等，则说明所选的两个顶点属于同一个连通分量，舍去此边而选择下一条权值最小的边。

/*
*邮箱：unique_powerhouse@qq.com
*blog:https://me.csdn.net/hzf0701
*注：文章若有任何问题请私信我或评论区留言，谢谢支持。
*
*/
#include<bits/stdc++.h>	//POJ不支持

#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)//i为循环变量，a为初始值，n为界限值，递增
#define per(i,a,n) for (int i=a;i>=n;i--)//i为循环变量， a为初始值，n为界限值，递减。
#define pb push_back
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0)
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;//无穷大
const int maxn = 1e5;//最大值。
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<ll, ll>  pll;
typedef pair<int, int> pii;
//*******************************分割线，以上为自定义代码模板***************************************//

struct edge{
	int s;//边的起始顶点。
	int e;//边的终端顶点。
	int w;//边权值。
	bool operator < (const edge &a){
		return w<a.w;
	}
};
edge temp[maxn];//临时数组存储边。
int verx[maxn];//辅助数组，判断是否连通。
edge tree[maxn];//最小生成树。
int n,m;//n*n的图，m条边。
int cnt;//统计生成结点个数，若不满足n个，则生成失败。
int sum;//最小生成树权值总和。
void print(){
	//打印最小生成树函数。
	cout<<"最小生成树的权值总和为："<<sum<<endl;
	rep(i,0,cnt-1){
		cout<<tree[i].s<<" "<<tree[i].e<<"边权值为"<<tree[i].w<<endl;
	}
}
void Kruskal(){
	rep(i,1,n)
		verx[i]=i;//这里表示各顶点自成一个连通分量。
	cnt=0;sum=0;
	sort(temp,temp+m);//将边按权值排列。
	int v1,v2;
	rep(i,0,m-1){
		v1=verx[temp[i].s];
		v2=verx[temp[i].e];
		if(v1!=v2){
			tree[cnt].s=temp[i].s;tree[cnt].e=temp[i].e;tree[cnt].w=temp[i].w;//并入最小生成树。
			rep(j,1,n){
				//合并v1和v2的两个分量，即两个集合统一编号。
				if(verx[j]==v2)verx[j]=v1; //默认集合编号为v2的改为v1.
			}
			sum+=tree[cnt].w;
			cnt++;
		}
	}
	//结束双层for循环之后得到tree即是最小生成树。
	print();
}
int main(){
	//freopen("in.txt", "r", stdin);//提交的时候要注释掉
	IOS;
	while(cin>>n>>m){
		int u,v,w;
		rep(i,0,m-1){
			cin>>u>>v>>w;
			temp[i].s=u;temp[i].e=v;temp[i].w=w;
		}
		Kruskal();
	}
	return 0;
}

5、算法分析

对于有$m$条边和$n$个顶点的图。在$for$循环中最耗时的操作就是合并两个不同的连通分量，第一个循环语句的频度为$m$，第二个循环由于存在$if$语句，所以平均频度是$lo{g}_{2}n$，所以该算法的平均时间复杂度为$O(mlo{g}_{2}n)$，故和Prim算法相比，此算法适合用于稀疏图。

6、测试

以示例数据为测试样例：

7 11
1 2 7
1 4 5
2 4 9
2 3 8
2 5 7
4 5 15
4 6 6
6 7 11
5 6 8
5 7 9
3 5 5

测试结果如图：