UVA—1347 （经典动态规划）Tour

原题链接： https://vjudge.net/problem/UVA-1347/origin

测试样例

Sample Input
3
1 1
2 3
3 1
4
1 1
2 3
3 1
4 2
Sample Output
6.47
7.89

题意： 给定你$n$个横坐标$x$，递增的点。需要你设计一条最短欧几里得距离路线，要求从最左边的点出发，走到最右边的点之后再返回，且除了最左边的点和最右边的点之外的每个点都只走了一次。

解题思路： 这道题是一道经典的动态规划题目。如果我们按题目意思去思考那很难解决，因为不同时考虑无法确定全局最短。那么我们可以这样想，假设有两个人都是从最左边点出发，再走不同的路到达最右边的点。 既然是动态规划的题目，我们可以试着去描述状态，如果我们用$dp(i,j)$表示第一个人走到第$i$个点，第二个人走到第$j$个点的目前最短距离。那么这个状态好像是可行的，但我们很难保证$i$和$j$不相等。那么我们再考虑一下，这两个人在走的过程中肯定是有一个人落后的，而这个状态是一直存在的，而如果我们再限制一下，如果领先的那个人到达第$i$个点，而落后的那个人到达了第$j$个点（$i>j$），那么能够保证的是前$i$个点一定都走完了 （若前$i$个点没有走完，那么剩下的点也依旧是要落后的那个人走完，否则条件不成立，所有这个一定满足。） 所以我们可以定义状态为$dp(i,j)(i>j)$表示前$i$个点已经走完且落后的那个人在第$j$个点。那么接下来第$i+1$个点就有人要走了，可以是落后的那个人，也可以是领先的那个人。故我们状态转移方程即可写为：

• $dp(i+1,i)=min(dp(i+1,i),dp(i,j)+dist(i,j))(1<j<i)$
• $dp(i+1,j)=min(dp(i+1,j),dp(i,j)+dist(i,i+1))(1<j<i)$

那么随着状态转移边界边界即是$dp(n,j)(1<j<n)$，那么也就是说前$n$个点都已经走完了，且落后的那个人在$j$点。那么我们还需要加上这段距离并取最优值。具体看AC代码。

AC代码

/*
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*邮箱：unique_powerhouse@qq.com
*注：文章若有任何问题请私信我或评论区留言，谢谢支持。
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=1e3;//数组所开最大值
const int mod=1e9+7;//模
const int inf=0x3f3f3f3f;//无穷大

struct point{
    double x,y;
};
point points[maxn];
double dp[maxn][maxn];
double dist(int a,int b){
    double dx=fabs(points[a].x-points[b].x);
    double dy=fabs(points[a].y-points[b].y);
    return sqrt(dx*dx+dy*dy);
}
int n;
void solve(){
    rep(i,1,n){
        rep(j,1,n){
            dp[i][j]=(1LL<<60);
        }
    }
    dp[1][1]=0,dp[2][1]=dist(1,2);
    rep(i,1,n-1){
        rep(j,1,i-1){
            //j代表落后点，当然也可以改变角色超前。
            //接下来是继续以j为落后点还是以i为落后点。
            dp[i+1][i]=min(dp[i+1][i],dp[i][j]+dist(i+1,j));
            dp[i+1][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j]+dist(i,i+1));
        }
    }
    double result=1LL<<60;
    rep(i,1,n-1){
        result=min(result,dp[n][i]+dist(i,n));
    }
    printf("%.2f\n",result);
}
int main(){
    while(cin>>n){
        rep(i,1,n){
            cin>>points[i].x>>points[i].y;
        }
        solve();
    }
    return 0;
}