Uva-116 - Unidirectional TSP（多阶段决策问题——多段图的最短路）

原题链接： uva-116

测试样例

Sample Input
5 6
3 4 1 2 8 6
6 1 8 2 7 4
5 9 3 9 9 5
8 4 1 3 2 6
3 7 2 8 6 4
5 6
3 4 1 2 8 6
6 1 8 2 7 4
5 9 3 9 9 5
8 4 1 3 2 6
3 7 2 1 2 3
2 2
9 10 9 10
Sample Output
1 2 3 4 4 5
16
1 2 1 5 4 5
11
1 1
19

题意： 给你一个$n$行$m$列的整数矩阵，从第一列的任何一个位置出发每次往右、右上或右下走一格，最终到达最后一列，要求经过的整数之和最小。整个矩阵是环形的，即第一行的上一行是最后一行，最后一行的下一行是第一行。输出路径上每一列的行号。多解时要求字典序最小的。

解题思路： 我们观察一下这个题目，这个整数矩阵上的每个位置就是一种状态，而我们可以选择的决策有三，向右，向右上，向右下。所以这个题起始很明显的告诉了我们该怎么做，而状态转移方程自然也是简单的，往整数和最小优化。 这里要注意的一点就是要求同解的情况下输出字典序小的，所以我们要优先考虑行号小的，这我们自然可以在决策的时候就可以判断，即先考虑行号小的。那么由于我们需要输出路径，且初始状态我们并不清楚，那么我们可以逆推思考解题（这样我们记录路径完之后就可以顺向输出）。用$dp(i,j)$表示在此位置到最后一列的最少开销。那么逆推回去即可得解。注意推到第一列的时候保存最优解以及最优解的出发行号。具体看AC代码。

AC代码

/*
*blog:https://blog.csdn.net/hzf0701
*邮箱：unique_powerhouse@qq.com
*注：文章若有任何问题请私信我或评论区留言，谢谢支持。
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i=n;i>=a;i--)

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=1e5;//数组所开最大值
const int mod=1e9+7;//模
const int inf=0x3f3f3f3f;//无穷大

int d[15][105];
int g[15][105];
int Next[15][105];
int n,m;
void solve(){
    int ans=inf,first=0;//first确定起始。列。
    for(int j=m-1;j>=0;j--){
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(j==m-1){
                d[i][j]=g[i][j];//由于是边界，没有选择。
            }
            else{
                int row[3]={i,i-1,i+1};
                if(i==0){
                    row[1]=n-1;
                }
                if(i==n-1){
                    row[2]=0;
                }
                sort(row,row+3);//字典序小的优先。
                d[i][j]=inf;
                rep(k,0,2){
                    int temp=d[row[k]][j+1]+g[i][j];//获取和。
                    if(temp<d[i][j]){
                        d[i][j]=temp;
                        Next[i][j]=row[k];;
                    }
                }
            }
            if(j==0&&d[i][j]<ans){
                //保存出发点。
                ans=d[i][j];
                first=i;
            }
        }
    }
    cout<<first+1;
    for(int i=Next[first][0],j=1;j<m;i=Next[i][j],j++){
        cout<<" "<<i+1;
    }
    cout<<'\n'<<ans<<endl;
}
int main(){
    while(cin>>n>>m){
        rep(i,0,n-1){
            rep(j,0,m-1){
                cin>>g[i][j];
            }
        }
        solve();
    }
    return 0;
}