HDU 4507 恨7不成妻 （数位DP套路题，详细解析）

不会数位$DP$的这里指路一篇介绍非常详细的数位$DP$的$blog$:点这里。

• 链接
  恨7不成妻

• 题面

  单身!
  依然单身！
  吉哥依然单身！
  DS级码农吉哥依然单身！
  所以，他生平最恨情人节，不管是214还是77，他都讨厌！
  吉哥观察了214和77这两个数，发现：
  $2+1+4=7$　
  $7+7=7\ast 2$
  $77=7\ast 11$
  最终，他发现原来这一切归根到底都是因为和7有关！所以，他现在甚至讨厌一切和7有关的数！什么样的数和7有关呢？如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关——
  　　　1、整数中某一位是7；
  　　　2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍；
  　　　3、这个整数是7的整数倍；

  现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和7无关的数字的平方和。
  　Input
  　输入数据的第一行是case数T(1 <= T <= 50)，然后接下来的T行表示T个case;每个case在一行内包含两个正整数L, R(1 <= L <= R <= 10^18)。
  　Output
  　请计算[L,R]中和7无关的数字的平方和，并将结果对10^9 + 7 求模后输出。
  　Sample Input

  3
  1 9
  10 11
  17 17
  

  Sample Output

  236
  221
  0
  

• 解题思路

  根据题意我们做出预处理，利用闫式$DP$分析法分析如下：

以上只是简单分析，我们还并没有真正的进行状态转移和计算，那么根据题意，首先是需要知道整数的每一位加起来的和是$7$的整数倍以及该整数是$7$的整数倍，这个好处理，在我们的前面的题中有类似的题型，这已经在我们的$f$数组的第三维和第四维了。所以难点就在于怎么处理整数的平方和。我们看下面的公式推导：

我们用$jA$来表示$i$位数，而其中的$A$为$i-1$位数。设这个状态有$t$个符合要求的数，分别是$A_1$~$A_t$。 那么，平方和易得为：

$(j{A}_1{)}^2+(j{A}_2{)}^2+(j{A}_3{)}^2+...+(j{A}_{t-1}{)}^2+(j{A}_t{)}^2$

（我们分割表示将$A$提取出来。）

$=(j\ast 10^{i-1}+A_1{)}^2+(j\ast 10^{i-1}+A_2{)}^2+(j\ast 10^{i-1}+A_3{)}^2+...+(j\ast 10^{i-1}+A_{t-1}{)}^2+(j\ast 10^{i-1}+A_t{)}^2$

（平方和公式）

$=t\ast (j\ast 10^{i-1}{)}^2+2\ast (j\ast 10^{i-1})\ast (A_1+...+A_t)+(A_1^2+...+A^2)$

这样，在这个式子中，由于$j$已知，所以我们发现$f$数组需要保存三个值。$A$的$0$次方之和，也就是符合要求的数，$A$的$1$次方之和，也就是符合要求的除去$j$的$i-1$位数相加，$A$的$2$次方之和，也就是符合要求的除去$j$的$i-1$位数平方相加。我们分别用$s_0,s_1,s_2$

分别代表上述的三个值。

那么这里我们需要怎么求$s_1$，如下：

注：这里的$s_1$为$i+1$位的$s_1$，而它存储的就是$i$位的$A$。

$j{A}_1+...+j{A}_t$

$=j\ast 10^{i-1}+(A_1+...+A_t)$

所以我们的$f$应该是一个结构体数组，它需要存取$s_0,s_1,s_2$。那么预处理根据上述分析其实就简单了。那么就按照数位$DP$的套路解决这道题即可。需要注意这道题好多坑点，多取模，足够细心才可以解决。（调$Bug$调了好久。快绝望了。）

• 代码

/**
  *@filename:恨7不成妻
  *@author: pursuit
  *@csdn:unique_pursuit
  *@email: 2825841950@qq.com
  *@created: 2021-05-12 21:19
**/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 20;
const ll P = 1e9+7;

//需要满足三个性质。
//1.不含7.
//2.各位数字之和模7不为0.an-1+...+a0%7!=0. 
//3.该数模7不为0.an-1*pow(10,n-1)+...+a0+pow(10,0)%7!=0

struct F{
    ll s0,s1,s2;//s0为符合要求的数。s1为符合要求的数1次方之和，s2为符合要求的数的2次方之和。
}f[N][10][7][7];//f[i][j][k][u]表示总共有i位数且最高位是j，该数值模7为k，各位数数字之和模7为u的所有数的s0,s1,s2.
//进行初始化。
int t;//测试数。
ll l,r;
ll power7[N],power9[N];//power7[i]存储10^i余7的余数，power9[i]存储10^i余P的余数。
ll mod(ll x,ll y){
    return (x%y+y)%y;
}
void init(){
    //确定初始值，位数为1的情况。
    for(int j=0;j<10;j++){
        if(j==7)continue;
        //根据性质排除不符合要求的。
        F &v=f[1][j][j%7][j%7];//这里用引用减少代码量。
        v.s0++;
        v.s1+=j;
        v.s2+=j*j;
    }
    ll power = 10;//辅助作用，表示10的i-1次方。
    for(int i=2;i<N;i++,power*=10){
        for(int j=0;j<10;j++){
            if(j==7)continue;//排除不符合要求的数。
            for(int k=0;k<7;k++){
                for(int u=0;u<7;u++){
                    for(int q=0;q<10;q++){
                        //枚举i-1的最高位。
                        if(q==7)continue;
                        F &x=f[i][j][k][u],y=f[i-1][q][mod(k-j*(power%7),7)][mod(u-j,7)];
                        //s0,s1,s2都是通过公式就算得到。
                        x.s0=mod(x.s0+y.s0,P);
                        x.s1=mod(x.s1+1LL*j%P*(power%P)%P*y.s0%P+y.s1,P);
                        x.s2=mod(x.s2+
                            1LL*j%P*y.s0%P*(power%P)%P*j%P*(power%P)%P+
                            1LL*y.s1%P*2%P*j%P*(power%P)%P+y.s2,P);
                    }
                }
            }
        }
    }
    //这里处理为了方便以及降低时间复杂度。
    power7[0]=1,power9[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        power7[i]=power7[i-1]*10%7;
        power9[i]=power9[i-1]*10%P;
    }
}
F get(int i,int j,int k,int u){
    //因为f[i][j][k][u]是本身模7等于k，且各位数之和模7等于u的，所以我们需要找出符合条件的集合。
    ll s0=0,s1=0,s2=0;
    for(int x=0;x<7;x++){
        for(int y=0;y<7;y++){
            if(x==k||y==u)continue;
            F v=f[i][j][x][y];
            s0=mod(s0+v.s0,P);
            s1=mod(s1+v.s1,P);
            s2=mod(s2+v.s2,P);
        }
    }
    return {s0,s1,s2};
}
ll dp(ll n){
    if(!n)return 0;//0的平方和为0.
    vector<int> a;
    ll temp=n%P;//备份一个n，供后面判断n使用。
    while(n)a.push_back(n%10),n/=10;
    ll last_a=0,last_b=0;//这里我们需要存储前缀的本身值和前缀的个位数之和。
    ll ans=0;//答案。
    for(int i=a.size()-1;i>=0;i--){
        int x=a[i];
        for(int j=0;j<x;j++){
            //走左分支。
            if(j==7)continue;
            //我们需要将符合条件的数筛出来，这里要用到一个get函数。
            //求得本身模7不等于a，并且各位数之和模7不等b的集合，此时就可以使用预处理出来的结构体
            int k=mod(-last_a*power7[i+1],7),u=mod(-last_b,7);
            F v=get(i+1,j,k,u);
            //cout<<v.s0<<" "<<v.s1<<" "<<v.s2<<endl;
            //根据公式求解s2.
            //j就是last_a.
            ans=mod(ans+
                1LL*(last_a%P)*(last_a%P)%P*(power9[i+1]%P)%P*(power9[i+1]%P)%P*v.s0%P+
                1LL*2*last_a%P*(power9[i+1]%P)%P*v.s1%P+
                v.s2,P);
            //cout<<ans<<endl;
        }
        //判断x。
        if(x==7)break;
        //走右分支更新。
        last_a=last_a*10+x;
        last_b+=x;
        //判断自己本身是否符合要求。
        if(!i&&last_a%7&&last_b%7){
            ans=mod(ans+temp*temp%P,P);
        }
    }
    return ans;
}
int main(){
    init();
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>l>>r;
        cout<<mod(dp(r)-dp(l-1),P)<<endl;
    }
    return 0;
}
/*
1
1 1000000000000000000
*/