Problem P15. [算法课动态规划]最长公共子序列

解题思路
确定dp数组（dp table）以及下标的含义dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

确定递推公式
主要就是两大情况：text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下：

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
  dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

dp数组如何初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
#include<cstdio>
#include<string>

using namespace std;

int main()
{
    string text1, text2;
    cin >> text1 >> text2;
    vector<vector<int>> dp = vector<vector<int>>(text1.length()+1, vector<int>(text2.length()+1, 0));
    for (int i = 1; i < text1.length()+1; i++) {
        for (int j = 1; j < text2.length()+1; j++) {
            if (text1[i-1] == text2[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    cout << dp[text1.length()][text2.length()];
    return 0;
}