证明：素数有无穷多个

特殊值法：（证明在最后）

eg：假设当前只有有限个素数，素数集合为 {2，3，5，7}

a = 2*3*5*7 + 1 = 211

211/2 除不尽

211/3 除不尽

211/5 除不尽

211/7 除不尽

211 是素数，且不存在于原素数集合中，和原假设矛盾，所以素数是有限的

 

eg：假设当前只有有限个素数，素数集合为 {2，3，5，7，11，13}

a = 2*3*5*7*11*13+1 = 30031

30031/2 除不尽

30031/3 除不尽

30031/5 除不尽

30031/7 除不尽

30031/11 除不尽

30031/13 除不尽

30031 是合数，可被分解为 59 × 509，59 和 509 都是素数，且不存在于原素数集合中，和原假设矛盾，所以素数是有限的

 

素数性质：若a为合数，则a的最小真因子为素数p，故 p｜a （即，a = p*q，a，p，q 属于整数）

来源：欧几里得《几何原本》

证明：

假设：只有有限个素数，分别是：2，3，5，7，…，Pn

构造一个数：a = 2*3*5*7*…*Pn + 1 

现在a要么是素数，要么不是素数

1）如果a是素数，那么a是不在我们列表中的素数，说明假设错误，即 素数有无限个

2）如果a是合数，那么a可以被分解为 2，3，5，7，…，Pn 中某些数的乘积（合数一定能被分解成质数的乘积 eg：6=2*3）

但因为 a = 2*3*5*7*…*Pn + 1 ，因为有 1 的存在， a 不能被 2，3，5，7，…，Pn 中的任何数整除

设P 属于 {2，3，5，7，…，Pn} ， a/P = 2*3*5*7*…*Pn / P + 1/P ，第一项是整数，但第二项 1/P 是小数，除不尽

说明 a 不能被 当前有限个素数（2，3，5，7，…，Pn）分解。

但 a 是合数，一定能被质数分解，所以，能够分解 a 的质数 不存在于 当前有限个素数中，即 不属于 {2，3，5，7，…，Pn}

说明，当前有限个素数不全面，还有不在该有限集合中的素数，说明假设错误，即 素数有无限个