hdu3336解读KMP算法的next数组
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题意大致是：给你一个字符串算这里面所有前缀出现的次数和。比如字符串abab，a出现2次，ab出现2次，aba出现1次，abab出现1次。总计6次。
并且结果太大，要求对1007进行模运算。
AC代码
#include <iostream>
using namespace std;
#include <string>
string s;
int n,Next[200005];
void getNext()
{
int len = n;
Next[0]=-1;
int i=0,j=-1;
while (i<len)
{
if(j==-1||s[i]==s[j])
{
++i;
++j;
Next[i]=j;
}
else
j = Next[j];
}
}
void main()
{
int t;
cin>>t;
while (t--)
{
cin>>n;
cin>>s;
getNext();
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int j=i;
while(j)
{
sum = (sum+1)%10007;
j = Next[j];
}
}
cout<<sum<<endl;
}
}KMP的next数组
概述
贴代码不是目的，讲解算法才是关键！！。解题的思路是使用了 KMP 算法，然而把并不是完整的KMP算法。只用到了它的next数组的求法。然而这正是KMP算法本身的关键所在。关于上面代码中getNext函数中进行的求next数组的实现部分，属于经典实现，模板代码。很容易找到，这里关键在于讲解next数组的思想。
在漫天飞的网络资料中，next数组的表示方法大致有两种：
- next数组第一位为-1
- next数组第一位为0
基本上是异曲同工。这里我用的是首元素为-1的解决方案，要注意的是若是首元素为-1的方案，那么next数组的大小是模式串长度+1！举个例子：
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 模式串 | a | b | a | b | |
| next数组 | -1 | 0 | 0 | 1 | 2 |
当然了，这里我表示的是c++的string字符串。不是C风格字符串，所以没写'\0'.如果是C风格字符串(字符数组)那么红色部分就是'\0'了。不过这不是重点，不是么？
在KMP算法中，关于next数组一般也作两种理解（以next数组首元素为-1为例，为0时表述略有不同）：
- 在模式串在某处与主串失配时，模式串应该回溯的位置。
- 以当前位置的前一位为结尾，其之前字符串与该串前缀相配的最大长度。
下面，略为解释一下这两点：
第一点
比如有一主串abacabab，有一模式串abab，要从主串之中查找是否包含模式串。那么我们依次遍历两个串，假设遍历两串有两个指针(逻辑意义上的指针)，或者称为光标。
开始时，前三位都能匹配。
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 主串 | a | b | a | c | a | b | a | b |
| 模式串 | a | b | a | b |
然后在下标为3处，也就是红色部分失配了。那么朴素的字符串匹配算法就是要让主串的指针移动到下标为1.模式串指针归零，即移到首位，然而这很明显是低效的操作。KMP算法则是在这种情况下，不修改主串的指针，只修改模式串指针，故KMP算法又称无回溯KMP算法。那么模式串指针修改为什么呢，那就要看next数组了。
在上例中在下标为3处失配，则去看next[3]，没错是 1 。于是
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 主串 | a | b | a | c | a | b | a | b |
| 模式串 | a | b | a | b |
第二点
我们再次观察next数组的表格，
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 主串 | a | b | a | c | a | b | a | b |
| 模式串 | a | b | a | b |
- 当下标为1时，要看它前一位的字符串，也就是看a，自身匹配不算。next数组为0。
- 当下标为2时，要观察ab，a与b不匹配。next数组为0。
- 当下标为3时，要观察aba，此时末尾的a与前缀a匹配，因为匹配长度为1所以next数组为1.
- 当下标为4时，要观察abab，此时末尾的ab与前缀ab匹配，因为匹配长度为2所以next数组为2.
回到本题
代码中：
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int j=i;
while(j)
{
sum = (sum+1)%10007;
j = Next[j];
}
}用于求解所有前缀出现次数和，那么为什么这样呢？
首先看for循环，从1遍历到n，大家应该很明白了。我们的next数组的长度比串长度多1个。
while(j)造成的情况就是for循环中i = 1,2,3……n都会使sum+1.
这是很好理解的因为，比如abab，那么 a，ab，aba，abab。这4个前缀肯定会算1个的对不？那么长度为n的字符串也会至少使sum+n对不。
然后接下来是 j = next[j].接下来我们用逆向思维来讲解，另举一例。另有以字符串ababa，求它的sum(前缀出现次数和)。我们可以得到它的next数组：
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 模式串 | a | b | a | b | a | |
| next数组 | -1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
代入到上述代码中，和abab相比，只多了一位。所以直接看 i 等于n(n为5)的时候，在sum=6（abab的sum值为6）的基础上来看。
- j=i=5 //表示的是ababa这个长度为5的最长前缀
- while(j)成立，sum=6+1=7
- j=next[5]=3 //表示的是aba这个长度为3的前缀
- while(j)成立，sum=7+1=8
- j=next[3]=1 //表示的是a这个长度为1的最短前缀
- while(j)成立，sum=8+1=9
- j=next[1]=0.
- while(j)不成立，结束。
- 最终sum=9
要理解上面的注释部分，需要再回到前面去看关于next数组解释的 第二点。
