睡前1小时数学系列之-整除

日常数学。

整除。

整除是数学里面最基础的概念。除法嘛。但是。这东西和平时义务教育讲的除法又有些不同。

定义：设a是一个非零的整数。b也是一个整数。如果存在一个整数p，使得 b＝a＊p；那么我们就称

b可以被a整除“整除”！。记作      a｜b   。

所以b叫做a的倍数。a呢，叫做b的约数，也叫做因子。

举栗子。  3｜12   21｜63   5｜15    就是这样。

 

整除。也有很多性质。

1，如果a｜b &&  b｜c  所以  a｜ c   有点传递性的味道。

    栗子 ：  5｜15 && 15｜ 250  所以  5｜250  。

 

2，如果  a｜b  && a｜c  满足 任意整数x 和 y  有这个 a｜（b＊x＋c＊y）

   举个栗子：  3｜15  &&  3 ｜6   之后呢   3｜（15＊2+6*3）

  计算一下哦，（15＊2+6*3）＝＝  48   很有趣  3｜48  

 

3，如果 m不等于0 m属于整数， 当a｜b 则 （a＊m）｜（b＊m）

 

 这两个是必备的基础。当然还有其它的性质，不过其它的也很简单。

 

4，关于性质有些证明 ： 举个栗子：

设 整数x和y 满足下列式： a＊x＋b＊y＝1 ，且a｜n ，b ｜ n   那么 （a＊b）｜n

 证明：

  因为  a｜n 且b｜n      

  根据性质3 ：  （a＊b）｜（n＊b）   与   （a＊b）｜（a＊n）

  根据性质4 ：（a＊b）｜(n*b*y+n*a*x)

   then :   (a*b) | n*(b*y+a*x)

   because: a*x+b*y==1;

    so :   (a*b) |  n

 

5，还有好多小学学的什么。

一个整数a

最后一位能被2整除，2｜a

最后两位能被4整除，4｜a

最后三位能被8整除，8｜a

若3能整除a上所有数字之和  ，3｜a

若9能整除a上所有数字之和  ，9｜a

同时，能被7，11，13，整除的数的特征： 如果a的末三位与末三位之前的差能被7，11，13整除

则 7｜a   &&   11｜a   &&  13｜a