集合幂级数——FWT与FMT

集合幂级数，可以理解为类似多项式的一个东西，将集合的子集视作二进制数，表示这一项的“次数”。
之所以加双引号，因为这并不是严格意义下的次数，而是为了方便理解它的卷积的一个概念。
一种严格定义是，一个全集的所有子集到某个域上的映射。
接下来，为了方便，用整数表示集合。尽量用比较通俗的方式讲。

基础——与和或#

集合并卷积。
FMT 和 FWT 几乎一样，其实就是高维前缀和。一个是分治一个是 DP。

FMT#

有 \(C_i=\sum\limits_{j\oplus k=i}A_jB_k\)，其中 \(\oplus\) 为与、或。
构造 \(FMT[S]_i=\sum\limits_{j\oplus i=i}S_j\)，有

\[\begin{align*} &FMT[A]_x\times FMT[B]_x \\ &=\sum\limits_{i\oplus x=x} A_i\sum\limits_{i\oplus x=x} B_j \\ &=\sum\limits_{k\oplus x=x}\sum\limits_{i|j=k}A_iB_j \\ &=\sum\limits_{k\oplus x=x}C_k \\ &=FMT[C]_x \end{align*} \]

于是进行一次高维前缀和，计算出 \(FWT[A]\) 与 \(FWT[B]\)，每个位置相乘得到 \(FWT[C]\)，然后再差分回来。
FMT 因为是 DP 形式，所以更加灵活， \(N\) 无需为 \(2\) 的次方。

FWT#

有 \(C_i=\sum\limits_{j\oplus k=i}A_jB_k\)。
定义 \(S\ \mathrm{link}\ T\) 表示序列 \(S\) 连接上序列 \(T\)，\(S\) 与 \(T\) 的四则运算表示序列 \(S,T\) 每一项分别相加/减/乘/除。
构造 \(FWT[S]_i=\sum\limits_{j\oplus i=i}S_j\)，其中 \(\oplus\) 为或，有

\[FWT[S_1\dots S_i]=FWT[S_1\dots S_{\frac{i}{2}-1}]\ \mathrm{link}\left(FWT[S_{\frac{i}{2}}\dots S_i]+FWT[S_1\dots S_{\frac{i}{2}-1}]\right) \]

计算出 \(FWT[A]\) 与 \(FWT[B]\)，每个位置相乘得到 \(FWT[C]\)，如果要从 \(FWT[C]\) 变回来，只要把上式中的 \(+\) 改为 \(-\) 即可。
\(\oplus\) 为与的情况只要把所有东西都反过来即可。
其实 FWT 和 FMT 的代码很像，只是 FWT 是分治思想，每次加入下标的一个二进制位。

重难点——异或与同或#

集合对称差卷积。
定义 \(P(i,j,\oplus)\) 表示 \(\mathrm{popcount}(i \oplus j)\bmod2\)，构造 \(FWT[S]_i=\sum\limits_{P(j,i,\oplus)=0}S_j-\sum\limits_{P(j,i,\oplus)=1}S_j\)，其中 \(\oplus\) 为与，有

\[FWT[S_1\dots S_i]= \left(FWT[S_1\dots S_{\frac{i}{2}-1}]+FWT[S_{\frac{i}{2}}\dots S_i]\right) \ \mathrm{link} \left(FWT[S_1\dots S_{\frac{i}{2}-1}]-FWT[S_{\frac{i}{2}}\dots S_i]\right)\]

从 \(FWT[C]\) 变回来，就是上述式子除以 \(2\)。同或的情况类似。
这个东西的证明是，\(P(j\ \mathrm{xor}\ k,i,\mathrm{and})=P(j,i,\mathrm{and})\ \mathrm{xor}\ P(k,i,\mathrm{and})\)，因此

\[\begin{align*} &FWT[A]_i\times FWT[B]_i \\ &=\left( \sum\limits_{P(j,i,\mathrm{and})=0}\sum\limits_{P(k,i,\mathrm{and})=0}A_jB_k+ \sum\limits_{P(j,i,\mathrm{and})=1}\sum\limits_{P(k,i,\mathrm{and})=1}A_jB_k \right)- \left( \sum\limits_{P(j,i,\mathrm{and})=0}\sum\limits_{P(k,i,\mathrm{and})=1}A_jB_k+ \sum\limits_{P(j,i,\mathrm{and})=1}\sum\limits_{P(k,i,\mathrm{and})=0}A_jB_k \right)\\ &=\sum\limits_{P(j\ \mathrm{xor}\ k,i,\mathrm{and})=0}A_jB_k- \sum\limits_{P(j\ \mathrm{xor}\ k,i,\mathrm{and})=1}A_jB_k\\ &=\sum\limits_{P(j,i,\mathrm{and})=0}C_j- \sum\limits_{P(j,i,\mathrm{and})=1}C_j\\ &=FWT[C]_i \end{align*} \]

All Last——子集卷积#

下面的 \(FWT\) 可以替换成 \(FMT\)。
求 \(C_i=\sum\limits_{j\ \mathrm{or}\ k\ =i,j\ \mathrm{xor}\ k\ =\ i}A_jB_k\)。
第一个限制直接集合并卷积。第二个限制也就是 \(\mathrm{popcount}(j)+\mathrm{popcount}(k)=\mathrm{popcount}(i)\)。
定义 \(FWT[C,i]\) 为 \(C\) 中所有表示的集合的大小为 \(i\) 的位置的 \(FWT\)。
\(A,B\) 先分别做 \(\log\) 次（即集合大小）集合并卷积，每次将大小相同的子集卷起来，
再做 \(\log^2\) 次序列单点相乘得到 \(FWT[C,i]\)（这是一个普通卷积），最后把 \(\log\) 个 \(FWT[C,i]\) 逆回去。
这样就做完了。