欧几里得算法和扩欧

7.31.2018修改

欧几里得算法

概念

在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语：Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法.
辗转相除法基于如下原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数.
两个数的最大公约数通常写成GCD(a, b),或者简写成(a, b)
(引自wikipidia)

实现

用伪代码描述

//gcd(x,y)
//(x>=y>0)
while x!=0&&y!=0
	z=x
	x=x mod y
	y=z

最后非零的就是要求的最大公约数了
而在实际编程中,可以选择递归或者递推实现(我选择递归0-0)
这是递归代码(cpp)

int gcd(int x,int y) {
	if(y) {
		return gcd(y,x%y);
	}
	return x;
}
//你也可以选择这么写=v=
int gcd(int x,int y) {return y==0?x:gcd(y,x%y);}

证明\(\gcd \left( x,y\right) =\gcd \left( y,x\% y\right)\)(\(\gcd \left( x,y\right)\)已知)

1.

设\(x=ay+r\)
设\(d=\gcd\left( x,y\right)\),\(e=\gcd \left( y,r\right)\)
因为a为整数,x,y可以被d整除
所以,r可以被d整除
所以e只可能大于等于d
假设e大于d
因为有\(x=ay+r\),且a为整数,y,r可以被e整除
推出x可以被e整除
与已知矛盾
所以e==d
得证

扩展欧几里得算法

概念

扩展欧几里得算法（英语：Extended Euclidean algorithm）是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式
\(ax + by = \gcd \left(a, b\right)\)。
(引自wikipidia)

实现&证明(求解和证明\(ax+by=\gcd \left( a,b\right)\))

(注意接下来的除法,均为舍去小数点后的整除)
对于 \(a\%b\) ,我们可以用\(a-\left( a/b\right) \ast c\) 去替代
那么考虑gcd中的一步 \(\gcd \left( m,n\right)\) 和下一步 \(\gcd \left( n,m\%n\right)\)
假设有\(nx+\left( n\% m\right) y= \gcd \left( m,n\right)\)
请思考上述方程与 $ mx_{1} + ny_{1} = \gcd \left( m , n \right) $ 之间的关系
...........................................
\(\because a\%b = a - \left( a / b \right) \ast b\)
\(\therefore nx+\left( n\% m\right) y=nx+my-\left( m/n\right) ny=my+n\left( x-\left( m/n\right) \ast y\right)\)
$\therefore \begin{cases} x_{1} = y\ y_{1} = x - \left( m / n \right) \ast y \end{cases} $
就这样,我们通过一组现解得到了它之前的一组解
那如果知道了最后一步的方程的解,不就可以逆推回初始方程的解了吗....
............................................
考虑求解 $ \gcd \left(a,b\right) $ 时的最后一步(即b为0时)
有$\gcd \left(a,b\right) = \gcd\left(m,0\right) = m $
考虑方程 $ mx + 0y = \gcd\left(a,b\right) $ ,它的一个可行解为 $ \begin{cases}x=1\ y=1\end{cases} $
然后我们就得到了我们需要的一组解,接下来就是逆推的过程了
好了,逆推的过程在求gcd时可以一起完成

题目不难,留给读者自行思考
(摘自算法导论)

int exGCD(int a,int b,int&x,int&y) {
	if(b==0) {
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int r=exGCD(b,a%b,x,y);
	int x1=y;
	y=x-(a/b)*y;
	x=x1;
}

之后

这里就是各种乱搞的地方啦

1.证明当 $ a_{i} $ 和 $ x_{i} $ 均为整数时, $ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \ldots +a_{n}x_{n} $的值一定为 $ \gcd \left( a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n} \right)$的整数倍

假设 $ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \ldots +a_{n}x_{n} = \varphi $ 且 $ \varphi $ 不为$ \gcd \left( a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n} \right)$的整数倍
对上式两边同除以 $ \gcd \left( a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n} \right)$ ,显然左边为一个整数
又因为右边不为一个整数,与等式矛盾
所以 $ \varphi $ 为$ \gcd \left( a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n} \right)$的整数倍

CF1010C