Educational Codeforces Round 98 (Rated for Div. 2) D

Educational Codeforces Round 98 (Rated for Div. 2) D

大意

有 \(n+2\) 个村庄，按从 \(0\) 到 \(n+1\) 标号。
村庄 \(1\) 到 \(n\) 中允许安装灯塔,每个村庄有二分之一的概率被安装（互相独立）。
现在，对于一种安装方法，你需要给予每个灯塔能量 \(p\in N^{*}\) 。
如果一个位于 \(i\) 的灯塔被赋予了能量 \(p\) ，那么，所有满足 \(|c-i|<p\) 的标号为 \(c\) 的村庄将会被照亮。
一种给予能量的方法合法，当且仅当满足以下两个条件：
1，\(0\) 和 \(n+1\) 不会被照亮。
2，其余每个村庄都被照亮且仅被照亮一次。
问：
合法方案的概率是多少。
记答案为 \(\dfrac{x}{w}\) ，你需要输出 \(x*w^{-1}\ mod\ 998244353\) 。其中 \(w^{-1}\) 代表 \(w\) 在模998244353下的逆元。

思路

方案数，不是组合就是dp。

原题可以等价转化为以下表述：

选择任意段长度为奇数的区间恰好总长为n

考虑 \(dp[i]\) 表示区间长度为 \(i\) 时的方案数

得到

\(dp[2n+1]=dp[2n]+dp[2n-2]+...+dp[0]\)

\(dp[2n+2]=dp[2n+1]+dp[2n-1]+...+dp[1]\)

奇数项方案数为前面所有偶数项之和

偶数项方案数为前面所有奇数项之和

每种方案概率相等

总情况数 \(2^n\)

求逆元计算即可

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define cint const int&
#define Pi acos(-1)

const int mod = 998244353;
const int inf_int = 0x7fffffff;
const ll inf_ll = 0x7fffffffffffffff;
const double ept = 1e-9;

int n;
ll to[200200];
ll dp[200200];

ll ksm(ll bs, int x) {
    ll ans=1;
    while(x) {
        if(x&1) ans = (ans*bs) % mod;
        bs = (bs*bs) % mod;
        x >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    to[0] = 1;
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++) to[i] = (to[i-1]*2) % mod;
    dp[0]=1, dp[1]=1, dp[2]=1;
    ll odd=1, eve=2;
    for(int i=3; i<=n; i++) {
        if(i&1) {
            dp[i] = eve;
            odd = (eve+odd) % mod;
        } else {
            dp[i] = odd;
            eve = (eve+odd) % mod;
        }
    }
    cout << (dp[n]*ksm(to[n], mod-2)) % mod;
    return 0;
}