向量点乘 ds

向量点乘（点积、内积）是向量运算中的一种基本操作，具有重要的代数与几何意义。以下是关于向量点乘的系统总结：

### 1. **定义**
- **代数定义**：对于向量 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 和 $\mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$，点乘定义为对应分量乘积之和：
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$
- **几何定义**：若两向量的模长分别为 $|\mathbf{a}|$ 和 $|\mathbf{b}|$，夹角为 $\theta$，则点乘可表示为：
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$

### 2. **几何意义**
- **投影**：点乘可求向量 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向上的投影长度：
$$\text{投影长度}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$$
- **夹角计算**：利用点乘可求两向量夹角：
$$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$$
- **正交性**：若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 且两向量非零，则它们垂直。

### 3. **性质**
- **交换律**：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$
- **分配律**：$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$
- **结合标量乘法**：$(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=k(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$
- **模长计算**：$|\mathbf{a}|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}$

### 4. **应用示例**
- **判断正交**：向量 $(1,1)$ 与 $(-1,1)$ 点乘为 $0$，故垂直。
- **计算功**：力 $\mathbf{F}$ 与位移 $\mathbf{d}$ 的功为 $W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{d}$。
- **余弦相似度**：归一化后的点乘用于衡量向量方向相似性。

### 5. **注意事项**
- **零向量**：若点乘为零，可能两向量垂直或至少一个为零向量。
- **维度通用性**：点乘适用于任意维度，而叉乘通常限于三维。

通过深入理解点乘的定义与几何意义，可灵活应用于物理、计算机图形学及机器学习等领域。