高斯消元法示例

（本人经过gpt绘制，后通过线性代数课程相关资料进行微调，结果通过方程组测试，请放心食用。高亮字为本人追加）
好的，以下是一个高斯消元法的示例：
假设我们想要求解以下线性方程组：

$$\begin{array}{rl}x+2y-z& =0\\ 2x-y+z& =8\\ -3x+y+2z& =-4\end{array}$$

我们可以将系数和常数放入一个增广矩阵中：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 2& -1& 1& 8\\ -3& 1& 2& -4\end{array}\right].$$

接下来，使用高斯消元法将增广矩阵转换成行阶梯矩阵。具体步骤如下：

1. 用第一行的第一个元素（即1）消去第二行的第一个元素（即2）和第三行的第一个元素（即-3）：

即找到一个系数乘以第一行，主元为1的那行，之后加二三行每个数（对应每列）

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 0& -5& 3& 8\\ 0& 7& -1& -4\end{array}\right].$$

2. 用第二行的第二个元素（即-5）消去第三行的第二个元素（即7）：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 0& -5& 3& 8\\ 0& 0& 3.2& 7.2\end{array}\right].$$

3. 将最后一行除以3.2，得到：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 0& -5& 3& 8\\ 0& 0& 1& 2.25\end{array}\right].$$

现在，这个增广矩阵就是一个行阶梯矩阵。接下来，我们可以使用回代法求解方程组的解。
从最后一行开始，我们可以得到第三个未知数 $z$ 的值：

$$z=2.25.$$

接下来，我们可以将这个值带入到第二个方程中，得到：

$$-5y+3z=8\Rightarrow -5y+3(2.25)=8\Rightarrow y=-0.25.$$

最后，我们可以将 $z$ 和 $y$ 的值带入到第一个方程中，得到：

$$x+2y-z=0\Rightarrow x+2(-0.25)-2.25=0\Rightarrow x=2.75.$$

因此，方程组的解为：

$$x=2.75,y=-0.25,z=2.25.$$

这就是使用高斯消元法求解线性方程组的基本过程。