高斯消元法示例

（本人经过gpt绘制，后通过线性代数课程相关资料进行微调，结果通过方程组测试，请放心食用。高亮字为本人追加）
好的，以下是一个高斯消元法的示例：
假设我们想要求解以下线性方程组：

\[\begin{aligned} x + 2y - z &= 0 \\ 2x - y + z &= 8 \\ -3x + y + 2z &= -4 \\ \end{aligned} \]

我们可以将系数和常数放入一个增广矩阵中：

\[\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 8 \\ -3 & 1 & 2 & -4 \\ \end{array} \right]. \]

接下来，使用高斯消元法将增广矩阵转换成行阶梯矩阵。具体步骤如下：

1. 用第一行的第一个元素（即1）消去第二行的第一个元素（即2）和第三行的第一个元素（即-3）：

即找到一个系数乘以第一行，主元为1的那行，之后加二三行每个数（对应每列）

\[\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & 8 \\ 0 & 7 & -1 & -4 \\ \end{array} \right]. \]

2. 用第二行的第二个元素（即-5）消去第三行的第二个元素（即7）：

\[\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 3.2 & 7.2 \\ \end{array} \right]. \]

3. 将最后一行除以3.2，得到：

\[\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2.25 \\ \end{array} \right]. \]

现在，这个增广矩阵就是一个行阶梯矩阵。接下来，我们可以使用回代法求解方程组的解。
从最后一行开始，我们可以得到第三个未知数 \(z\) 的值：

\[z = 2.25. \]

接下来，我们可以将这个值带入到第二个方程中，得到：

\[-5y + 3z = 8 \Rightarrow -5y + 3(2.25) = 8 \Rightarrow y = -0.25. \]

最后，我们可以将 \(z\) 和 \(y\) 的值带入到第一个方程中，得到：

\[x + 2y - z = 0 \Rightarrow x + 2(-0.25) - 2.25 = 0 \Rightarrow x = 2.75. \]

因此，方程组的解为：

\[x = 2.75, \quad y = -0.25, \quad z = 2.25. \]

这就是使用高斯消元法求解线性方程组的基本过程。