使用伴随阵和初等行变换两种方法求矩阵 A = 3行3列矩阵 1 −1 3 2 −1 4 −1 2 −4 的逆阵

方法一：使用伴随阵

1. 先求矩阵 A 的伴随矩阵 Adj(A)。

   首先，计算矩阵 A 的代数余子式 A11, A12, A13, A21, A22, A23, A31, A32, A33。
   A11 = (-1)^(1+1) * det([[-1, 4], [2, -4]]) = -2
   A12 = (-1)^(1+2) * det([[2, 4], [-1, -4]]) = 6
   A13 = (-1)^(1+3) * det([[2, -1], [-1, 2]]) = 3
   A21 = (-1)^(2+1) * det([[3, 4], [2, -4]]) = 16
   A22 = (-1)^(2+2) * det([[1, 3], [-1, -4]]) = 1
   A23 = (-1)^(2+3) * det([[1, -1], [-1, 2]]) = 3
   A31 = (-1)^(3+1) * det([[3, -1], [2, 4]]) = -14
   A32 = (-1)^(3+2) * det([[1, 3], [2, 4]]) = -10
   A33 = (-1)^(3+3) * det([[1, -1], [3, 2]]) = 5

   然后，将这些代数余子式组成矩阵的转置矩阵，就得到了矩阵 A 的伴随矩阵 Adj(A)。
   Adj(A) = [[-2, 16, -14], [6, 1, -10], [3, 3, 5]]

2. 计算矩阵 A 的行列式 det(A)。

   det(A) = 1(-1)(-4) + 24(-1) + (-1)23 = 1

3. 计算矩阵 A 的逆矩阵 A^-1。

   A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A) = [[-2, 16, -14], [6, 1, -10], [3, 3, 5]]

方法二：使用初等行变换

1. 将矩阵 A 和单位矩阵 I 相拼接，组成增广矩阵 [A|I]。

   [A|I] = [[1, -1, 3, 1, 0, 0], [2, -1, 4, 0, 1, 0], [-1, 2, -4, 0, 0, 1]]

2. 对矩阵 [A|I] 进行初等行变换，将矩阵 A 变换成单位矩阵。

   (1) 将第1行乘以2，并加到第2行上：[A|I] ~ [[1, -1, 3, 1, 0, 0], [0, 1, 10, 2, 1, 0], [-1, 2, -4, 0, 0, 1]]
   (2) 将第1行加上第3行，并将结果作为新的第3行：[[1, -1, 3, 1, 0, 0], [0, 1, 10, 2, 1, 0], [0, 1, -1, 1, 0, 1]]
   (3) 将第2行减去第3行，并将结果作为新的第2行：[[1, -1, 3, 1, 0, 0], [0, 0, 11, 1, 1, -1], [0, 1, -1, 1, 0, 1]]
   (4) 将第2行乘以11，并加到第3行上：[[1, -1, 3, 1, 0, 0], [0, 0, 11, 1, 1, -1], [0, 0, 10, 12, 1, 10]]
   (5) 将第3行除以10：[[1, -1, 3, 1, 0, 0], [0, 0, 11, 1, 1, -1], [0, 0, 1, 6/5, 1/10, 1]]

   此时，矩阵 [A|I] 变成了 [I|A^-1] 的形式，即
   [I|A^-1] = [[1, 0, 0, -11/10, -1/110, 7/110], [0, 1, 0, -1/10, -1/110, 1/110], [0, 0, 1, 6/5, 1/10, 1]]

   所以，矩阵 A 的逆矩阵为 A^-1 = [[-11/10, -1/110, 7/110], [-1/10, -1/110, 1/110], [6/5, 1/10, 1]].