P1516 青蛙的约会

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
输入输出格式
输入格式：

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L

其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

输出格式：

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。

输入输出样例
输入样例#1： 

1 2 3 4 5

输出样例#1： 

4

首先我们可以发现，这个题就是为了让我们解一个方程：
x+km≡y+kn(modl),k为所求
x+km−(y+kn)=lz,z∈Z
那么就是：
x−y+k(m−n)−lz=0
k(m−n)−lz=−(x−y)
那么我们设S=x−y,W=n−m
这个式子便可写作：
kW+lz=S
那么其实，对于这个方程，我们是要解出步数的最小值，所以我们只需要求出k最小即可。我们可以通过扩展欧几里德算法求出一组特解，然后对于这组特解，我们再推导出最小解来。

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long ans,x1,y1;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x1, long long &y1){
    if(!b){
        x1=1;
        y1=0;
        return a;
    }
    ans=exgcd(b,a%b,x1,y1);
    long long t=x1;
    x1=y1;
    y1=t-a/b*y1;
    return ans;
}
int main(){
    long long n,m,x,y,l;
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    long long b=n-m,a=x-y;
    if(b<0){
        b=-b;
        a=-a;
    }
    exgcd(b,l,x1,y1);
    if(a%ans!=0){
        cout<<"Impossible";
    }
    else{
        cout<<((x1*(a/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans);
    }
    return 0;
}