常见数论函数求法

一. 莫比乌斯函数

定义:$\mu(n) =   \begin{cases} 1,  & \text{if $n$ = 1} \\ (-1)^k, & \text{if $n = p_1*p_2*...*p_k$ } \\0, & \text{其它} \end{cases}$

单点求法: 根据定义的$O(\sqrt{n})$求法如下

int Mu(int n) {
	int ret = 1, mx = sqrt(n+0.5);
	for (int i=2; i<=mx; ++i) if (n%i==0) {
		n /= i, ret = -ret;
		if (n%i==0) return 0;
	}
	return n>1?-ret:ret;
}

根据$\mu$的积性可以用欧筛在$O(n)$时间预处理出前$n$项.

const int N = 1e6+10;
int phi[N], mu[N], p[N], cnt, vis[N];
void init() {
    mu[1] = 1;
    for (int i=2; i<N; ++i) {
        if (!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1,t; j<=cnt&&i*p[j]<N; ++j) {
            vis[t=i*p[j]] = 1;
            if (i%p[j]==0) {mu[t]=0;break;}
            mu[t]=-mu[i];
        }
    }
}

根据$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]$可以得到$O(nlogn)$预处理前$n$项的算法.

for (int i=mu[1]=1; i<=n; ++i) {
	for (int j=2*i; j<=n; j+=i) mu[j]-=mu[i];
}

 

二. 欧拉函数

定义: $\varphi(n)$为不超过$n$且与$n$互质的正整数个数.

利用容斥原理可以得到$\varphi(n)=n\prod\limits_{p|n} \frac{p-1}{p}$, 可以得到单点求法: 

int Phi(int n) {
	int ret = n, mx = sqrt(n+0.5);
	for (int i=2; i<=mx; ++i) if (n%i==0) {
		ret = ret/i*(i-1);
		while (n%i==0) n/=i;
	}
	return n>1?ret/n*(n-1):ret;
}

$O(nloglogn)$求法

for (int i=1; i<N; ++i) phi[i] = i;
for (int i=2; i<N; ++i) if(phi[i]==i) {
    for(int j=i, t=i-1; j<N; j+=i) {
        phi[j] = phi[j]/i*t;
    }
}

根据$\varphi$的积性同样可以用欧筛在$O(n)$时间预处理出前$n$项.

const int N = 1e6+10;
int phi[N], mu[N], p[N], cnt, vis[N];
void init() {
    phi[1] = 1;
    for (int i=2; i<N; ++i) {
        if (!vis[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for (int j=1,t; j<=cnt&&i*p[j]<N; ++j) {
            vis[t=i*p[j]] = 1;
            if (i%p[j]==0) {phi[t]=phi[i]*p[j];break;}
            phi[t]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
}