P2221 [HAOI2012]高速公路

[洛谷P2221] [HAOI2012]高速公路

题目大意：

给定序列\(a1..an\)，维护两个操作，区间加，区间询问对l..r区间内的点对，求期望距离。

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因为题目是边的贡献，考虑把l+1转化为点的贡献。
考虑对于\([l..r]\)的答案如何计算

\[ans=\frac{\sum_{l<r}dis[l][r]}{(r-l+1)\times(r-l)/2} \]

先不看下面的，只算上面的ans，最后除一下就行
考虑权值\(a_i\)在所有点对中被贡献的次数

\[ans=\sum_{i=l}^r a_i×(r-i+1)×(i-l+1) \]

怎么理解这个式子呢？考虑只有跨过\(a_i\)的点对会包含\(a_i\)，那在\(a_i\)左边的\(l\)就有\((i-l+1)\)个，在\(a_i\)右边的\(r\)有\((r-i+1)\)个 （注:\(l,r\)可以取到\(a_i\) 因为转换成了点的贡献）
发现还是不太好维护，考虑先展开

\[ans=\sum_{i=l}^r a_i×(ir-i^2-lr-l+r+1) \]

整理一下 把含i^2项的，i项的，和常数项分开

\[ans=\sum_{i=l}^r a_i×[-i^2+(l+r)i+(r-l+1-lr)] \]

考虑写成\(3\)个求和分别维护

\[ans=-\sum_{i=l}^r a_i×i^2+(l+r)\sum_{i=l}^r a_i\times i+(r-l+1-lr)\sum_{i=l}^r a_i \]

分别记\(\sum_{i=l}^r a_i\)为$s1, $ \(\sum_{i=l}^r a_i×i^2\)为\(s2\), \(\sum_{i=l}^r a_i\times i\)为\(s3\),
答案就可以写成

\[ans=-s3+(l+r)s2+(r-l+1-lr)s1 \]

答案想好了 考虑区间l..r加w的时候s1,s2,s3的变化

\[s1+=(r-l+1)\times w \]

\[s2+=\sum_{i=l}^r i \times w \]

\[s2+=\sum_{i=l}^r i^2 \times w \]

对于\(\sum_{i=l}^r i\)可以预处理出来，记为\(s4\)
同理\(\sum_{i=l}^r i^2\) 预处理出来记为\(s5\)
而且很好的，\(s4,s5\)具有可加性，在线段树上维护的时候直接\(s4[rt]=s4[lc]+s4[rc]\)，不需要做其他事情

大概分析完了，有一些细节注意的地方：

1、记得\(l..r\)换成\(l+1..r\)或者\(l..r-1\)，而且这里的变化会影响到\(ans\)那里的计算（简而言之就是算分子的时候把\(l\)换成\(l+1\)就行）
2、别忘了除掉\(gcd\)
3、由于乘法很多，所有参与计算的变量要开\(longlong\)，而且写的时候记得加上\(1ll*\)

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#include<bits/stdc++.h>
#define lc root<<1
#define rc root<<1|1
#define lson root<<1,l,mid
#define rson root<<1|1,mid+1,r
using namespace std;
const int maxn=100010;
typedef long long ll;
ll s1[maxn<<2],s2[maxn<<2],s3[maxn<<2],s4[maxn<<2],s5[maxn<<2],lazy[maxn<<2];
int n,m;
inline void pushup(int root){
	s1[root]=s1[lc]+s1[rc];
	s2[root]=s2[lc]+s2[rc];
	s3[root]=s3[lc]+s3[rc];
}
void build(int root,int l,int r){
	lazy[root]=s1[root]=s2[root]=s3[root]=0;
	if (l==r){
		s4[root]=l;
		s5[root]=1ll*l*l;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(lson);build(rson);
	s4[root]=s4[lc]+s4[rc];
	s5[root]=s5[lc]+s5[rc];
}
void pushdown(int root,int l,int r){
	if (!lazy[root]) return;
	int t=lazy[root];lazy[root]=0;
	lazy[lc]+=t;lazy[rc]+=t;
	int mid=l+r>>1;
	s1[lc]+=1ll*(mid-l+1)*t;s1[rc]+=1ll*(r-mid)*t;
	s2[lc]+=1ll*s4[lc]*t;s2[rc]+=1ll*s4[rc]*t;
	s3[lc]+=1ll*s5[lc]*t;s3[rc]+=1ll*s5[rc]*t;
}
void update(int root,int l,int r,int L,int R,int w){
	if (L<=l && r<=R){
		s1[root]+=1ll*(r-l+1)*w;
		s2[root]+=1ll*w*s4[root];
		s3[root]+=1ll*w*s5[root];
		lazy[root]+=w;
		return;
	}
	pushdown(root,l,r);
	int mid=l+r>>1;
	if (L<=mid) update(lson,L,R,w);
	if (R>mid)  update(rson,L,R,w);
	pushup(root);
}
void query(int root,int l,int r,int L,int R,ll &sum1,ll &sum2,ll &sum3){
	if (L<=l && r<=R){
		sum1+=s1[root];sum2+=s2[root];sum3+=s3[root];
		return;
	}
	pushdown(root,l,r);
	int mid=l+r>>1;
	if (L<=mid) query(lson,L,R,sum1,sum2,sum3);
	if (R>mid)  query(rson,L,R,sum1,sum2,sum3);
}
ll gcd(ll x,ll y){
	if (x%y==0) return y;
	else return gcd(y,x%y);
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main(){
	n=read();m=read();
	build(1,1,n);
	ll sum1=0,sum2=0,sum3=0;char st[10];
	int l,r,v;ll ans,mu,g;
	while (m--){
		scanf("%s",st);l=read();r=read();
		if (st[0]=='C'){
			v=read();
			update(1,1,n,l+1,r,v);
		}else{
			sum1=sum2=sum3=0;
			query(1,1,n,l+1,r,sum1,sum2,sum3);
			ans=1ll*(l+1+r)*sum2+1ll*(r-l-1ll*(l+1)*r)*sum1-sum3;
			mu=1ll*(r-l+1)*(r-l)/2;
			g=gcd(ans,mu);
			printf("%lld/%lld\n",ans/g,mu/g);
		}
	}
	return 0;
}