一、折射定律-费马最短路推导

计算整个折射路径的长度，分为两段：第一段为原始介质中光束所走过的路程，第二段为光束在折射介质中走过的路程：

L = n \times \sqrt{z^{2} + x^{2}} + n^{'} \times \sqrt{z^{' 2} + x^{' 2}}

$L = n\times \sqrt{z^2+ x^2} + n'\times \sqrt{z'^2+x'^2}$

要使得光程最短，实际就是 $x'$ 的位置需要调整改变：

\begin{aligned} f (x) & = n \sqrt{z^{2} + x^{2}} + n^{'} \sqrt{z^{' 2} + x^{' 2}} \\ = n \sqrt{z^{2} + x^{2}} + n^{'} \sqrt{z^{' 2} + (h - x)^{2}} \end{aligned}

$\begin{split} f(x) &= n \sqrt{z^2+ x^2} + n' \sqrt{z'^2+x'^2} \\ &=n \sqrt{z^2+ x^2} + n' \sqrt{z'^2+(h-x)^2} \end{split}$

求解上述公式关于 $x$ 倒数为零的点，即为所需要的最短路径点：

\begin{aligned} f^{'} (x) & = n * \frac{x}{\sqrt{z^{2} + x^{2}}} - n^{'} * \frac{(h - x)}{\sqrt{z^{' 2} + (h - x)^{2}}} = 0 \\ => n s i n θ - n^{'} s i n θ^{'} = 0 \\ => \frac{n}{n^{'}} = \frac{s i n θ}{s i n θ^{'}} \end{aligned}

$\begin{split} f'(x) &= n*\frac{x}{\sqrt{z^2+ x^2}} - n'* \frac{(h-x)}{\sqrt{z'^2+(h-x)^2}}= 0 \\ &=> nsin\theta - n'sin\theta' = 0 \\ &=> \frac{n}{n'} = \frac{sin \theta}{sin \theta'} \end{split}$

推导手稿

二、反射定律-费马最短路推导

考虑 $L = |AO|+|OB|=|AO'|+|O'B| \tag{2.1} ; \ b \rightarrow 0$ 光程相等时的位置点 $O$ 即为极值点位置(实际上就是在 $O$ 点的导数为 0 ，无变化)，此时的极值点即为反射点：

\begin{aligned} (2.2) & | A O^{'} | = \sqrt{(a + b)^{2} + h^{2}} \\ (2.3) & | A O | = \sqrt{(a)^{2} + h^{2}} \\ (2.4) & | O B^{'} | = \sqrt{(c)^{2} + h^{2}} \\ (2.5) & | O B | = \sqrt{(b + c)^{2} + h^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} |AO'|=\sqrt{(a+b)^2+ h^2} \tag{2.2}\\ |AO|=\sqrt{(a)^2+ h^2} \tag{2.3}\\ |OB'|=\sqrt{(c)^2+ h^2} \tag{2.4}\\ |OB|=\sqrt{(b+c)^2+ h^2} \tag{2.5}\\ \end{align}$

将上述公式代入到式 $2.1$ 中可得：

\begin{aligned} L & = \sqrt{(a + b)^{2} + h^{2}} + \sqrt{(c)^{2} + h^{2}} = \sqrt{(a)^{2} + h^{2}} + \sqrt{(b + c)^{2} + h^{2}}, b \to 0 \\ = \sqrt{k^{2} + h^{2}} + \sqrt{(c)^{2} + h^{2}} 取到最小值, k 与 c 的关系 \\ \Rightarrow f (c) = \sqrt{(m - c)^{2} + h^{2}} + \sqrt{c^{2} + h^{2}} \\ \Rightarrow f^{'} (c) = \frac{c - m}{\sqrt{(m - c)^{2} + h^{2}}} + \frac{c}{\sqrt{c^{2} + h^{2}}} \end{aligned}

$\begin{split} L &= \sqrt{(a+b)^2+ h^2} + \sqrt{(c)^2+ h^2} = \sqrt{(a)^2+ h^2} + \sqrt{(b+c)^2+ h^2}, \ b \rightarrow 0 \\ &= \sqrt{k^2+ h^2} + \sqrt{(c)^2+ h^2} \ \text{取到最小值, k 与 c 的关系}\\ &\Rightarrow f(c)= \sqrt{(m-c)^2+ h^2} + \sqrt{c^2+ h^2} \\ &\Rightarrow f'(c)=\frac{c-m}{\sqrt{(m-c)^2+ h^2}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+ h^2}} \end{split}$

考虑上述 $f'(c)$ 导数为 0 的位置，则有：

\begin{aligned} f^{'} (c) & = \frac{c - m}{\sqrt{(m - c)^{2} + h^{2}}} + \frac{c}{\sqrt{c^{2} + h^{2}}} = 0 \\ \Rightarrow \frac{m - c}{\sqrt{(m - c)^{2} + h^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^{2} + h^{2}}} 两边同时平方化简 \\ \Rightarrow m = 2 c \end{aligned}

$\begin{split} f'(c) &=\frac{c-m}{\sqrt{(m-c)^2+ h^2}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+ h^2}} = 0\\ &\Rightarrow \frac{m-c}{\sqrt{(m-c)^2+ h^2}} = \frac{c}{\sqrt{c^2+ h^2}} \ \text{两边同时平方化简}\\ &\Rightarrow m=2c \end{split}$

$c=\frac{m}{2}$ 即为反射点位置