数论知识点整理

符号

\(a \perp b\) 表示a和b互素

剩余类相关

剩余类&剩余

若\(m\)是一个给定的正整数,则全部整数可分成m个集合,记作\(K_0,K_1…,K_{m-1}\).其中\(K_r(r =0,1,…,m-1)\)是由一切形如\(qm+r\)的整数所组成的。\(K_0,K_1…,K_{m-1}\)叫做模m的剩余类，一个剩余类中任一数叫做它同类的数的剩余。

完全剩余系

若\(a_0,a_1.…,a_{m-1}\)是\(m\)个整数,并且其中任何两数都不同在一个剩余类里,则\(a_0,a_1.…,a_{m-1}\)叫做模\(m\)的一个完全剩余系。

简化(既约)剩余系

简化剩余系(reduced residue system)也称既约剩余系或缩系，是m的完全剩余系中与m互素的数构成的子集，显然m的简化剩余系大小为\(\phi (m)\)

群论相关

群

群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构。

单位元

\(∃e∈S,∀x∈S,e⋅x=x⋅e=x\)，则称e为单位元

阶

在群\(G\)中,\(a∈G\)。如果有整数\(k\)，使\(a^k=e\)，那么使这个等式成立的最小正整数\(k\)叫做\(a\)的阶，记为\(k=|a|\)
如果这样的\(k\)不存在，则称\(a\)的阶是无限的，记为\(a=+∞\)

阿贝尔群(交换群、加群)

满足交换律的群

非阿贝尔(非交换群)

至少存在两个元素满足\(a*b\neq b*a\)的群称为非阿贝尔群

生成元&秩

群中元素可以由最小数目个群元的乘积生成，这组群元称为该群的生成元，生成元的数目为有限群的秩。

欧拉函数相关

欧拉定理

当 \(a, m \in \mathbb{Z},\) 且 \(\operatorname{gcd}(a, m)=1\) 时有：\(a^{\varphi(m)} \equiv 1(\bmod m)\)

扩展欧拉定理(降幂)

\(a^{b} \equiv\left\{\begin{array}{ll}a^{b \% \phi(p)} & g c d(a, p)=1 \\ a^{b} & g c d(a, p) \neq 1, b<\phi(p) \\ a^{b \% \phi(p)+\phi(p)} & g c d(a, p) \neq 1, b \geq \phi(p)\end{array} \quad(\bmod p)\right.\)

原根相关

原根

阶：设 \(a, m \in \mathbb{N}^{+},\) 且 \(a \perp m,\) 使 \(a^{x} \equiv 1(\bmod m)\) 成立的最小正整数 \(x,\) 称为 \(a\) 模 \(m\) 的阶, 记为 \(\operatorname{ord}_{m} a_{0}\)

原根：设 \(g, m \in \mathbb{N}^{+},\) 且 \(g \perp m ;\) 若 \(\operatorname{ord}_{m} g=\varphi(m),\) 则称 \(g\) 是模 \(m\) 的原根。

定义原根的意义在于, 原根非常类似于单位根, 故有一些很好的性质, 比如说我们考虑当 \(m\) 是质数时, 原根有如下等价定义：若 \(g\) 是模 \(m\) 的原根, 则 \(g^{1}, g^{2}, \cdots, g^{m-1}\) 的值在模 \(m\) 的意义下两两不同, 注意到模\(m\)剩余系中恰有\(m\)个数，而任意一个非零数的幂次都不可能等于0，故原根的幂次在模\(m\)的剩余系中是最稠密的，换句话说，仅用原根就能够充分表示模 \(m\) 剩余系的性质。