数学公式
常用公式/结论
组合数学公式
圆排列
\(\frac{P_{n}^{m}}{m}=\frac{n !}{(n-m) ! \times m},(1 \leq m \leq n)\)
n个不同物品中取m个的圆排列
不尽相异元素全排列
如果 \(n\) 个元素里,有 \(p\) 个元素相同,又有 \(q\) 个元素相同 \(, \cdots,\) 又有 \(r\) 个元素相同 \((p+q\) \(+\cdots+r \leqslant n)\),则它的所有排列种数为
Cayley定理
n个带标号的点能构成\(n^{n-2}\)棵不同的树
广义Cayley定理
n个标号节点形成一个有k颗树的森林,使得给定的k个点没有两个点属于同一颗树的方案数为\(k*n^{n-k-1}\)
卡特兰数
定义1:\(C_{n+1}=C_{0} C_{n}+C_{1} C_{n-1}+\cdots+C_{n} C_{0}\)
定义2:\(C_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)
定义3: \(C_{n}=\frac{1}{n+1} \cdot C_{2 n}^{n}\)
卡特兰数\(C_n\)即含有 n 个结点的不相似的二叉树的数量
\(n\)个结点构建的形态不同的树的数量=\(C_{n-1}\)
二项式定理
组合数递推公式
容斥原理
错排问题
考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)
斐波那契通项公式
求和公式
如何快速推一个简单式子的求和公式?
通过观察得出求和公式的次数x,然后列x元一次方程组求解
几何公式
Pick 定理:给定顶点均为整点的简单多边形,其面积A和内部格点数目\(i\) 、边上格点数目 \(b\) 的关系为: \(\quad A=i+\frac{b}{2}-1\)
欧拉公式:任意多面体,V:顶点数,E:边数,F:面数,存在\(V-E+F=2\)
Pick定理与欧拉公式等价
复杂度估算
调和级数近似求和公式