狄利克雷卷积学习笔记
前置知识
（1）常见的完全积性函数：
恒等函数：\(I\)。\(I(n)=1\)
单位函数：\(id\)。\(id(n)=n\)
元函数：\(\epsilon\)。\(\epsilon(n)=[n=1]\)，元函数卷积任何函数\(f\)都是\(f\)本身
（2）常见积性函数:：
欧拉函数：\(\varphi(n)\)是小于n和n互质的自然数个数
莫比乌斯函数：\(\mu(n)\)
\(\sigma\)：\(\sigma_k(n)\)表示n的所有因数的k次方之和
（3）【狄利克雷卷积定义】
两个函数\((f，g)\)的狄利克雷卷积记为\(f*g\)
\[(f * g)(n)=\sum_{k \mid n} f(k) \times g\left(\frac{n}{k}\right)
\]
（5）【基础性质】
-
若\(f，g\)为积性函数，则\(f*g\)也是积性函数
-
卷积满足交换律，结合律，分配律
（6）【常用卷积等式】
\[\begin{alignat}{1} \mu*I&=\epsilon \\\mu * i d&=\varphi \\\varphi * I&=id \\\end{alignat}
\]
（7）用卷积的性质证明莫比乌斯反演
\[\begin{alignat}{1}F(n)&=\sum_{d \mid n} f(d) \\F&=f*I \\F*\mu&=f*I*\mu \\F*\mu&=f*\epsilon \qquad&(性质6) \\F*\mu&=f \qquad&(元函数性质)\\f(n)&=\sum_{d \mid n} \mu(d) F\left(\frac{n}{d}\right)\end{alignat}
\]
