用位操作符实现四则运算

常用到的位操作

描述

1, 等式： -n = ~(n - 1) = ~n + 1

2, 获取整数n的二进制中最后一个1： n & (-n) 或者 n & ~(n - 1)

如 n = 010100，则 -n = 101100，n & (-n) = 000100

3, 去掉整数n的二进制中最后一个1： n & (n-1)

如：n = 010100，n-1 = 010011，n & (n-1) = 010000

加法

可以利用“异或”操作实现整数加法运算：
对应位数的“异或操作”可得到该位的数值，对应位的“与操作”可得到该位产生的高位进位，如：a = 010010，b = 100111，计算步骤如下：

第一轮：a ^ b= 110101，(a & b) << 1 = 000100， 由于进位（000100）大于0，则进入下一轮计算，a = 110101，b = 000100，a ^ b = 110001，(a & b) << 1= 001000，由于进位大于0，则进入下一轮计算：a = 110001，b = 001000，a ^ b = 111001，(a & b) << 1 = 0，进位为0，终止。计算结果为：111001。

递归

// C++

int Maths::add(int a, int b)
{
    if (!b) return a;  // 没有进位
    int sum = a ^ b;  // 不计进位的和
    int carry = a & b;  // 进位
    carry <<= 1;
    return add(sum, carry);
}

非递归

int add(int a, int b)
{
    int sum;
    while (b)
    {
        sum = a ^ b;  // 不带进位
        b = ((a & b) << 1);  // 进位
        a = sum;
    }
    return sum;
}

 

减法

减法可很容易地转化为加法：a - b = a + (-b) = a + (~b + 1 )

即，取减数的补码再相加 1

1. 负数的补码：原码取反加1
2. 正数的补码：原码

// C++
int substract(int a, int b)
{
    int complement = add(~b, 1); 
    return add(a, complement);
}

 

乘法

    111        (7)
  * 101        (5)
---------------
    111        (00111) 7 向左移动 0 位：111
   000        (00000) 7 向左移动 1 位：1110
  111        (11100) 7 向左移动 2 位：11100
---------------
  100011    (35)

1. b 的第0 位，为1，则结果加上 111，因为 1 * （111） = 111
2. b 的第2 位，为0，则结果加上 0000，因为 0 * (1110) = 0000
3. b 的第3 位，为1，则结果加上 11100，因为 1 * (11100) = 11100

可以看到，b 每向右移一位，a 就要向左移动一位。

//C++
int multiply(int a, int b)
{
    bool isNegtive = (a < 0) ^ (b < 0);  // 决定结果的正负
    int ans = 0;
    if (b < 0) b = -b;  // 负数转化为正数计算
    if (a < 0) a = -a;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = add(ans, a); // 从右至左取 b 的二进制中的 1 （即右移）
        a <<= 1;
        b >>= 1;
    }
    return isNegtive ? -ans : ans;
}

 

除法

除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果a 够减）b^(2^31), b^(2^30), …, b^8, b^4, b^2, b^1。

b 减掉相应数量，则结果需加上相应的数量。

// C++
int divide(int a, int b)
{
    if (b == 0) return 0;
    bool isNegtive = (a < 0) ^ (b < 0);
    if (b < 0) b = -b;
    if (a < 0) a = -a;
    int ans = 0;
    for (int i = 31; i > 0; --i)
    {
        if ((a >> i) >= b)
        {
            a = substract(a, (b << i));
            ans = add(ans, (1 << i));
        }
    }
    return isNegtive ? -ans : ans;
}

  

资料参考

用位运算实现四则运算之加减乘除（用位运算求一个数的1/3）

http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7390093

优秀程序员不得不知道的20个位运算技巧

http://blog.csdn.net/zmazon/article/details/8262185

用位操作符实现四则运算

http://bluestein.github.io/2016/03/algorithm-add-substract-multiply-divide/#more