动态规划空间复杂度的优化--滚动数组

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滚动数组的作用在于优化空间，主要应用在递推或动态规划中（如01背包问题）。因为DP题目是一个自底向上的扩展过程，我们常常需要用到的是连续的解，前面的解往往可以舍去。所以用滚动数组优化是很有效的。利用滚动数组的话在N很大的情况下可以达到压缩存储的作用。

一个简单的例子：

斐波那契数列：

一般代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int Fib[25];

int fib(int n)
{
    Fib[0] = 0;
    Fib[1] = 1;
    Fib[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; ++i)
        Fib[i] = Fib[i - 1] + Fib[i - 2];
    return Fib[n];
}

int main()
{
    int ncase, n, ans;
    scanf("%d", &ncase);
    while(ncase--)
    {
        scanf("%d", &n);
        ans = fib(n);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

利用滚动数组优化后代码为：

 
#include<cstdio>
using namespace std;
int Fib[3];

int fib(int n)
{
    Fib[1] = 0; 
    Fib[2] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        Fib[0] = Fib[1]; 
        Fib[1] = Fib[2];
        Fib[2] = Fib[0] + Fib[1];
    }
    return Fib[2];
}

int main()
{
    int ncase, n, ans;
    scanf("%d", &ncase);
    while(ncase--)
    {
        scanf("%d", &n);
        ans = fib(n);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}        

滚动数组实际是一种节省空间的办法，时间上没啥优势，多用于DP中，举个例子吧： 

 

一个DP，平常如果需要1000×1000的空间，其实根据DP的无后效性，可以开成2×1000，然后通过滚动，获得和1000×1000一样的效果。滚动数组常用于DP之中，在DP过程中，我们在由一个状态转向另一个状态时，很可能之前存储的某些状态信息就已经无用了，例如在01背包问题中，从理解角度讲我们应开DP[i][j]的二维数组，第一维我们存处理到第几个物品，也就是阶段了，第二维存储容量，但是我们获得DP[i],只需使用DP[i - 1]的信息，DP[i - k],k>1都成了无用空间，因此我们可以将数组开成一维就行，迭代更新数组中内容，滚动数组也是这个原理，目的也一样，不过这时候的问题常常是不可能缩成一维的了，比如一个DP[i][j]需要由DP[i - 1 ][k],DP[i - 2][k]决定，i<n，0<k<=10;n <= 100000000;显然缩不成一维,正常我们应该开一个DP[100000005][11]的数组，结果很明显，超内存，其实我们只要开DP[3][11]就够了DP[i%3][j]由DP[(i - 1)%3][k]和DP[(i - 2)%3][k]决定，空间复杂度差别巨大。